Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_n = n * (-1)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a sequência converge ou diverge. Isso está dentro da matéria de sequências e séries, mais especificamente sobre o comportamento de sequências. Pra resolver, a gente vai precisar entender o que significa uma sequência convergir ou divergir e analisar o comportamento de conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência converge se, conforme vai aumentando, os termos se aproximam de um número fixo, chamado de limite. Se isso não acontecer, a sequência diverge.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a nossa sequência: . Aqui, temos dois componentes: o , que cresce sem limites conforme aumenta, e o , que faz com que os termos alternem entre positivo e negativo.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de quando cresce. O termo está aumentando indefinidamente, ou seja, vai para o infinito. Já alterna entre 1 e -1 dependendo se é par ou ímpar.

Passo 5

Multiplicando esses dois termos, vemos que vai alternando entre e . Então, conforme cresce, vai para em módulo, mas alterna o sinal. Isso significa que não está se aproximando de nenhum número fixo.

Passo 6

Como não se aproxima de um limite específico e, na verdade, cresce sem limites em módulo, podemos concluir que a sequência diverge.

Resposta

A sequência diverge.

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