Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a sequência
converge ou diverge. Isso está dentro da matéria de sequências e séries, mais especificamente sobre o comportamento de sequências. Pra resolver, a gente vai precisar entender o que significa uma sequência convergir ou divergir e analisar o comportamento de
conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência converge se, conforme
vai aumentando, os termos
se aproximam de um número fixo, chamado de limite. Se isso não acontecer, a sequência diverge.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a nossa sequência:
. Aqui, temos dois componentes: o
, que cresce sem limites conforme
aumenta, e o
, que faz com que os termos alternem entre positivo e negativo.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento de
quando
cresce. O termo
está aumentando indefinidamente, ou seja, vai para o infinito. Já
alterna entre 1 e -1 dependendo se
é par ou ímpar.
Passo 5
Multiplicando esses dois termos, vemos que
vai alternando entre
e
. Então, conforme
cresce,
vai para
em módulo, mas alterna o sinal. Isso significa que
não está se aproximando de nenhum número fixo.
Passo 6
Como
não se aproxima de um limite específico e, na verdade, cresce sem limites em módulo, podemos concluir que a sequência
diverge.
Resposta
A sequência
diverge.