ointGamma cos (z) d zz^3-pi^2, Gamma:|z|=4 Resposta. 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! O enunciado pede para calcularmos a integral de contorno ointGamma cos(z) , dzz^3 - pi^2, onde Gamma é o círculo de raio 4 centrado na origem. Vamos precisar usar conceitos de cálculo complexo, especificamente o Teorema dos Resíduos, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos singulares da função que estão dentro do contorno Gamma. Os pontos singulares ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, onde z^3 - pi^2 = 0. Resolvendo essa equação:
z^3 = pi^2 z = pi^2/3 cdot e^2pi i k /3, k = 0, 1, 2
Isso nos dá três raízes cúbicas de pi^2.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essas raízes estão dentro do nosso contorno Gamma de raio 4. Calculando o módulo de uma dessas raízes:
|z| = |pi^2/3| approx 2.144 < 4
Como todas as três raízes têm módulo aproximadamente 2.144, que é menor que 4, todas estão dentro do contorno Gamma.

Passo 4

Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral de contorno é igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro de Gamma. Ou seja:
ointGamma cos(z) , dzz^3 - pi^2 = 2pi i cdot sum Res(f, zk)
onde zk são os pontos singulares dentro de Gamma.

Passo 5

Como os polos são simples (porque a derivada do denominador em zk não é zero), o resíduo em cada ponto zk é dado por:
Res(f, zk) = cos(zk)3 zk^2
Então, a soma dos resíduos é:
sum Res(f, zk) = sumk=0^2 cos(zk)3 zk^2

Passo 6

Notamos que as raízes zk são simétricas no plano complexo devido às propriedades das raízes cúbicas da unidade. Além disso, a função cos(z) é uma função par, o que provoca cancelamentos quando somamos os resíduos das raízes simétricas. Portanto, a soma dos resíduos resulta em zero:
sumk=0^2 cos(zk)3 zk^2 = 0

Resposta

A integral vale 0.

Exercícios relacionados