Resposta. 0
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! O enunciado pede para calcularmos a integral de contorno
, onde
é o círculo de raio 4 centrado na origem. Vamos precisar usar conceitos de cálculo complexo, especificamente o Teorema dos Resíduos, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos singulares da função que estão dentro do contorno
. Os pontos singulares ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, onde
. Resolvendo essa equação:
Isso nos dá três raízes cúbicas de
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essas raízes estão dentro do nosso contorno
de raio 4. Calculando o módulo de uma dessas raízes:
Como todas as três raízes têm módulo aproximadamente 2.144, que é menor que 4, todas estão dentro do contorno
.
Passo 4
Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral de contorno é igual a
vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro de
. Ou seja:
onde
são os pontos singulares dentro de
.
Passo 5
Como os polos são simples (porque a derivada do denominador em
não é zero), o resíduo em cada ponto
é dado por:
Então, a soma dos resíduos é:
Passo 6
Notamos que as raízes
são simétricas no plano complexo devido às propriedades das raízes cúbicas da unidade. Além disso, a função
é uma função par, o que provoca cancelamentos quando somamos os resíduos das raízes simétricas. Portanto, a soma dos resíduos resulta em zero:
Resposta
A integral vale 0.