Calcule a derivada
e ache seu valor para o
pedido:
em
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de uma função e depois descobrir o valor dessa derivada quando
. A função que temos é:
O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas, especificamente as regras para derivar funções trigonométricas, potências e constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a derivada
de uma função, a gente deriva cada termo separadamente. A nossa função tem três termos:
-
– a função cosecante. -
– uma função potência com coeficiente. -
– uma constante.
Vamos derivar cada um desses termos:
-
Derivada de
: Isso porque a derivada da cosecante é menos a cosecante vezes a cotangente. -
Derivada de
:
Primeiro, reescrevemoscomo : Utilizamos a regra da potência, onde a derivada deé . -
Derivada de
:
A derivada de uma constante é zero:
Passo 3
Agora, juntando todas as derivadas que calculamos, temos:
Simplificando:
Passo 4
Vamos encontrar o valor de
quando
. Substituindo
na derivada:
Sabemos que
, então:
Se quiser o valor numérico, podemos calcular aproximando:
Então:
Resposta
A derivada de
é:
E o valor dessa derivada em
é aproximadamente: