Calcule a derivada f'(x) e ache seu valor para o x pedido: f(x) = csc(x) - 4 * raiz(x) + 7 em x = 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de uma função e depois descobrir o valor dessa derivada quando . A função que temos é:
O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas, especificamente as regras para derivar funções trigonométricas, potências e constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a derivada de uma função, a gente deriva cada termo separadamente. A nossa função tem três termos:
  1. – a função cosecante.
  2. – uma função potência com coeficiente.
  3. – uma constante.
Vamos derivar cada um desses termos:
  1. Derivada de :
    Isso porque a derivada da cosecante é menos a cosecante vezes a cotangente.
  2. Derivada de :
    Primeiro, reescrevemos como :
    Utilizamos a regra da potência, onde a derivada de é .
  3. Derivada de :
    A derivada de uma constante é zero:

Passo 3

Agora, juntando todas as derivadas que calculamos, temos:
Simplificando:

Passo 4

Vamos encontrar o valor de quando . Substituindo na derivada:
Sabemos que , então:
Se quiser o valor numérico, podemos calcular aproximando:
Então:

Resposta

A derivada de é:
E o valor dessa derivada em é aproximadamente:

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