, sendo A o arco de situado no semiplano superior, de .
Resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Primeiro, o enunciado nos diz que A é o arco da circunferência unitária no semiplano superior, indo de a . Isso significa que estamos trabalhando com números complexos ao longo de um arco específico. Para resolver essa integral, vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais de funções complexas, parametrização de curvas e propriedades dos números complexos.
Passo 2
Vamos começar parametrizando o arco A. Como estamos lidando com a circunferência unitária no semiplano superior, podemos usar a parametrização:
onde varia de a . Aqui, é a representação polar de um número complexo na circunferência unitária.
Passo 3
Com a parametrização, precisamos expressar em termos de . Derivando em relação a , temos:
Então, substituímos na integral.
Passo 4
Substituindo e na integral original:
Simplificando os termos, sabemos que .
Passo 5
Simplificando dentro da integral:
e^itheta^2 = e^2itheta
Então, a integral fica:
e^itheta e^itheta = e^itheta e^-itheta = e^0 = 1
Passo 6
Distribuindo o i e^itheta dentro dos parênteses:
integral0^pi ( i e^3itheta + i e^itheta ) dtheta
Agora, vamos integrar termo a termo.
Passo 7
Integrando o primeiro termo:
integral0^pi i e^3itheta dtheta = i cdot e^3itheta3i |0^pi = e^3ipi - 13
E integrando o segundo termo:
integral0^pi i e^itheta dtheta = i cdot e^ithetai |0^pi = e^ipi - 1
Passo 8
Simplificando as expressões:
Sabemos que e^ipi = -1, então: