integralA(z^2+z barz) d z, sendo A o arco de S^1 situado no semiplano superior, de 1 a-1.
Resposta. -83

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integralA(z^2+z barz) dz. Primeiro, o enunciado nos diz que A é o arco da circunferência unitária S^1 no semiplano superior, indo de 1 a -1. Isso significa que estamos trabalhando com números complexos ao longo de um arco específico. Para resolver essa integral, vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais de funções complexas, parametrização de curvas e propriedades dos números complexos.

Passo 2

Vamos começar parametrizando o arco A. Como estamos lidando com a circunferência unitária no semiplano superior, podemos usar a parametrização:
z(theta) = e^itheta
onde theta varia de 0 a pi. Aqui, e^itheta é a representação polar de um número complexo na circunferência unitária.

Passo 3

Com a parametrização, precisamos expressar dz em termos de theta. Derivando z(theta) em relação a theta, temos:
dz = ddtheta e^itheta dtheta = i e^itheta dtheta
Então, substituímos dz na integral.

Passo 4

Substituindo z e dz na integral original:
Simplificando os termos, sabemos que integralA(z^2+z barz) dz = integral0^pi ( e^itheta^2 + e^itheta e^itheta ) cdot i e^itheta dtheta .

Passo 5

Simplificando dentro da integral:
e^itheta^2 = e^2itheta
Então, a integral fica:
e^itheta e^itheta = e^itheta e^-itheta = e^0 = 1

Passo 6

Distribuindo o i e^itheta dentro dos parênteses:
integral0^pi ( i e^3itheta + i e^itheta ) dtheta
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Integrando o primeiro termo:
integral0^pi i e^3itheta dtheta = i cdot e^3itheta3i |0^pi = e^3ipi - 13
E integrando o segundo termo:
integral0^pi i e^itheta dtheta = i cdot e^ithetai |0^pi = e^ipi - 1

Passo 8

Simplificando as expressões:
Sabemos que e^ipi = -1, então:
e^3ipi - 13 = (-1)^3 - 13 = -1 - 13 = -23
E:
e^ipi - 1 = -1 - 1 = -2
Portanto, somando os dois resultados:
-23 - 2 = -83

Resposta

A integral vale -83.

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