Calcule a derivada f'(x) e ache seu valor para o x pedido: f(x) = (1 - sec(x)) / tan(x) em x = pi / 4;

Passo 1

Tranquilo! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular a derivada de e encontrar o valor dessa derivada em . Para isso, vamos usar o conteúdo de Derivadas de Funções Racionais e Funções Trigonométricas. Precisaremos aplicar a Regra do Quociente e conhecer as derivadas de e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos derivar:
Aqui, temos um quociente de duas funções: o numerador e o denominador . Para derivar essa função, usaremos a Regra do Quociente, que diz:
onde e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :
  1. Derivada de :
    (usamos a derivada de , que é )
  2. Derivada de :
    (usamos a derivada de , que é )

Passo 4

Aplicando a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos avaliar a derivada em . Primeiro, calculamos os valores das funções trigonométricas nesse ponto:
Substituindo esses valores na expressão da derivada:

Resposta

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