ointGamma sin (pi z) d z(z^2-1)^2, Gamma:|z-1|=1
Resposta. -pi^2 i2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! O enunciado pede para calcular a integral de contorno:
ointGamma sin (pi z) , dz(z^2-1)^2, Gamma:|z-1|=1
Aqui, estamos lidando com Análise Complexa, especificamente usando o Teorema dos Resíduos para avaliar integrais de funções racionais envolvendo funções trigonométricas. Vamos precisar identificar os polos da função dentro do contorno e calcular os resíduos correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função tem singularidades, ou seja, onde o denominador se anula:
(z^2-1)^2 = 0 implies z^2 - 1 = 0 implies z = pm 1
Então, os polos são em e . Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro do contorno .

Passo 3

Vamos analisar a posição dos polos em relação ao contorno |1 - 1| = 0 < 1 :
  • Para |-1 -1| = 2 > 1 :
    Ou seja, está dentro do contorno.
  • Para :
    Portanto, está fora do contorno.
Assim, apenas o polo em está dentro de , e é um polo de ordem 2 (porque o denominador está elevado ao quadrado).

Passo 4

Como temos um polo de ordem 2 em Res(f, z0) = 1(n-1)! limz to z0 d^n-1dz^n-1 [(z - z0)^n f(z)] , vamos usar a fórmula para calcular o resíduo de uma função Res(sin (pi z)(z^2-1)^2, 1) = limz to 1 ddz [(z - 1)^2 sin (pi z)(z^2-1)^2] em um polo de ordem :
No nosso caso, e , então:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro do limite:
(z - 1)^2 sin (pi z)(z^2 - 1)^2 = sin (pi z)(z + 1)^2
Agora, precisamos derivar essa expressão em relação a ddz ( sin (pi z)(z + 1)^2 ) = pi cos (pi z) (z + 1)^2 - 2(z + 1) sin (pi z)(z + 1)^4 e depois avaliar o limite quando = pi cos (pi z) (z + 1) - 2 sin (pi z)(z + 1)^3 :
Simplificando mais:

Passo 6

Agora, avaliamos o limite quando Res = limz to 1 pi cos (pi z) (z + 1) - 2 sin (pi z)(z + 1)^3 :
= pi cos (pi cdot 1) (1 + 1) - 2 sin (pi cdot 1)(1 + 1)^3
Substituindo = pi (-1) cdot 2 - 2 cdot 08 = -2pi8 = -pi4 :
Sabemos que e , então:

Passo 7

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a ointGamma sin (pi z) , dz(z^2-1)^2 = 2pi i cdot ( -pi4 ) = -pi^2 i2 vezes o resíduo dentro do contorno:

Resposta

-pi^2 i2

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