Resposta.
Resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! O enunciado pede para calcular a integral de contorno:
Aqui, estamos lidando com Análise Complexa, especificamente usando o Teorema dos Resíduos para avaliar integrais de funções racionais envolvendo funções trigonométricas. Vamos precisar identificar os polos da função dentro do contorno
e calcular os resíduos correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função tem singularidades, ou seja, onde o denominador se anula:
Então, os polos são em
e
. Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro do contorno
.
Passo 3
Vamos analisar a posição dos polos em relação ao contorno
:
-
Para
: Ou seja,está dentro do contorno. -
Para
: Portanto,está fora do contorno.
Assim, apenas o polo em
está dentro de
, e é um polo de ordem 2 (porque o denominador está elevado ao quadrado).
Passo 4
Como temos um polo de ordem 2 em
, vamos usar a fórmula para calcular o resíduo de uma função
em um polo de ordem
:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro do limite:
Agora, precisamos derivar essa expressão em relação a
e depois avaliar o limite quando
:
Simplificando mais:
Passo 6
Agora, avaliamos o limite quando
:
Substituindo
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 7
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a
vezes o resíduo dentro do contorno: