Calcule a derivada f'(x) e ache seu valor para o x pedido: f(x) = ln(e^x + 1) em x = 2;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos calcular a sua derivada . Depois, vamos achar o valor dessa derivada no ponto . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre derivadas de funções logarítmicas e exponenciais.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de . Para derivar uma função logarítmica como essa, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de é , onde é uma função de .

Passo 3

Identificamos que . Agora precisamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 4

A derivada de em relação a é , e a derivada de uma constante, como , é . Portanto, .

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor de quando . Substituímos por na expressão que encontramos:

Resposta

A derivada de é . Para , o valor da derivada é , que aproximadamente é .

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