ointGamma d z(z-1)^3(z+1)^3
c) Gamma:|z|=2 Resposta. 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de contorno onde é o círculo de raio 2, ou seja, . O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais complexas envolvendo funções com singularidades (pontos onde a função não é bem definida). Para resolver isso, precisamos identificar os pontos onde a função tem singularidades dentro do contorno e calcular os resíduos nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função (z - 1)^3 (z + 1)^3 = 0 implies z = 1 e z = -1 tem singularidades. As singularidades são os valores de que tornam o denominador zero. Então:
Esses são os pontos onde a função não é definida, chamados de polos. Cada um deles é um polo de ordem 3 porque o fator correspondente aparece ao cubo.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esses polos estão dentro do contorno |1| = 1 < 2 e |-1| = 1 < 2 . O contorno é o círculo . Vamos ver:
Portanto, ambos os polos e estão dentro do contorno .

Passo 4

Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral de contorno é igual a ointGamma dz(z-1)^3(z+1)^3 = 2pi i [ Resz=1 f(z) + Resz=-1 f(z) ] vezes a soma dos resíduos da função dentro do contorno. Ou seja:
Vamos calcular cada um desses resíduos.

Passo 5

Para calcular o resíduo em um polo de ordem 3, usamos a fórmula:
Resz=a f(z) = 12! limz to a d^2dz^2 [ (z - a)^3 f(z) ]
Vamos primeiro calcular .

Passo 6

Calculando o resíduo em f(z) = 1(z-1)^3 (z+1)^3 :
(z - 1)^3 f(z) = 1(z + 1)^3
Multiplicando por ddz ( 1(z + 1)^3 ) = -3 1(z + 1)^4 :
d^2dz^2 ( 1(z + 1)^3 ) = 12 1(z + 1)^5
Agora, encontramos a segunda derivada de d^2dz^2 ( 1(z + 1)^3 ) g|z=1 = 12 1(2)^5 = 12 times 132 = 38 em Resz=1 f(z) = 12! times 38 = 316 :
Avaliado em :
Então:

Passo 7

Agora, vamos calcular o resíduo em f(z) = 1(z-1)^3 (z+1)^3 :
(z + 1)^3 f(z) = 1(z - 1)^3
Multiplicando por ddz ( 1(z - 1)^3 ) = -3 1(z - 1)^4 :
d^2dz^2 ( 1(z - 1)^3 ) = 12 1(z - 1)^5
Calculamos a segunda derivada de d^2dz^2 ( 1(z - 1)^3 ) g|z=-1 = 12 1(-2)^5 = 12 times 1-32 = -38 em Resz=-1 f(z) = 12! times (-38) = -316 :
Avaliado em :
Então:

Passo 8

Agora que temos os resíduos nos dois polos:
Resz=1 f(z) = 316 e Resz=-1 f(z) = -316
Somando os resíduos:
316 + (-316) = 0

Resposta

0

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