Beleza, vamos resolver a integral de contorno onde é o círculo de raio 2, ou seja, . O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais complexas envolvendo funções com singularidades (pontos onde a função não é bem definida). Para resolver isso, precisamos identificar os pontos onde a função tem singularidades dentro do contorno e calcular os resíduos nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função tem singularidades. As singularidades são os valores de que tornam o denominador zero. Então:
Esses são os pontos onde a função não é definida, chamados de polos. Cada um deles é um polo de ordem 3 porque o fator correspondente aparece ao cubo.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esses polos estão dentro do contorno . O contorno é o círculo . Vamos ver:
Portanto, ambos os polos e estão dentro do contorno .
Passo 4
Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral de contorno é igual a vezes a soma dos resíduos da função dentro do contorno. Ou seja:
Vamos calcular cada um desses resíduos.
Passo 5
Para calcular o resíduo em um polo de ordem 3, usamos a fórmula:
Vamos primeiro calcular .
Passo 6
Calculando o resíduo em :
Multiplicando por :
Agora, encontramos a segunda derivada de em :
Avaliado em :
Então:
Passo 7
Agora, vamos calcular o resíduo em f(z) = 1(z-1)^3 (z+1)^3 :