Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
§ f(x)=\frac{\sqrt[3]{x} \sin x}{x^{2} \cos \left(x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}\,\sin x}{x^{2}\cos(x^{2})}.
Vamos usar as regras de diferenciação: regra do quociente, regra do produto, regra da cadeia e a derivada de potência.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão, escrevendo tudo como produto de potências e funções trigonométricas:
f(x) =\frac{x^{1/3}\,\sin x}{x^{2}\cos(x^{2})} =x^{1/3-2}\,\sin x\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}\bigr) =x^{-5/3}\,\sin x\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 3

Definimos três fatores:
g(x)=x^{-5/3},\quad h(x)=\sin x,\quad k(x)=\operatorname{sec}\bigl(x^{2}\bigr).
Suas derivadas são, respectivamente, pela regra da potência, derivada de \sin x e regra da cadeia em \operatorname{sec}(u):
g'(x)=-\tfrac{5}{3}\,x^{-5/3-1}=-\tfrac{5}{3}\,x^{-8/3},
h'(x)=\cos x,
k'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}(u)\bigr]_{u=x^2} =\operatorname{sec}(u)\tan(u)\,u'\Big|_{u=x^2} =\operatorname{sec}\bigl(x^{2}\bigr)\tan\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto para três funções:
f'(x) =g'(x)\,h(x)\,k(x) +g(x)\,h'(x)\,k(x) +g(x)\,h(x)\,k'(x).
Substituindo:
f'(x) =-\tfrac{5}{3}x^{-8/3}\,\sin x\,\operatorname{sec}(x^2) +x^{-5/3}\,\cos x\,\operatorname{sec}(x^2) +x^{-5/3}\,\sin x\bigl[\operatorname{sec}(x^2)\tan(x^2)\,2x\bigr].

Passo 5

Para simplificar, fatoramos x^{-8/3}\operatorname{sec}(x^2) em cada termo. Note que
x^{-5/3}\cdot x = x^{-8/3+1}=x^{-5/3+3/3}=x^{-2/3} \quad\text{e}\quad x^{-2/3}=x^{-8/3}\,x^{2}.
Logo,
f'(x) =x^{-8/3}\,\operatorname{sec}(x^2)\Bigl[ -\tfrac{5}{3}\sin x + x\cos x +2x^{2}\,\sin x\,\tan(x^2) \Bigr].
Em forma de quociente, fica
f'(x) =\frac{-\tfrac{5}{3}\sin x + x\cos x +2x^{2}\sin x\tan(x^2)} {x^{8/3}\,\cos(x^2)}.

Resposta

\boxed{ f'(x) =\frac{-\tfrac{5}{3}\,\sin x + x\,\cos x +2x^{2}\,\sin x\,\tan\bigl(x^{2}\bigr)} {x^{8/3}\,\cos\bigl(x^{2}\bigr)} }.

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