Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
(o) f(x)=\frac{x^{2}}{\sin ^{33} x \cos ^{17} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}}{(\sin x)^{33}\,(\cos x)^{17}}.
O conteúdo necessário envolve regra do produto (pois podemos ver f(x)=x^{2}\cdot(\sin x)^{-33}(\cos x)^{-17}) e regra da cadeia para derivar potências de \sin x e \cos x.

Passo 2

Reescrevemos f(x) com expoentes negativos:
f(x)=x^{2}\;(\sin x)^{-33}\;(\cos x)^{-17}.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto em
u(x)=x^{2},\quad v(x)=(\sin x)^{-33}(\cos x)^{-17}.
Temos
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =2x\;(\sin x)^{-33}(\cos x)^{-17}+x^{2}\;v'(x).

Passo 4

Para v(x)=(\sin x)^{-33}(\cos x)^{-17} usamos regra do produto e da cadeia:
v'(x) =\bigl((\sin x)^{-33}\bigr)'(\cos x)^{-17} +(\sin x)^{-33}\bigl((\cos x)^{-17}\bigr)'.
Calculamos cada parte:
\bigl((\sin x)^{-33}\bigr)'=-33\,(\sin x)^{-34}\,\cos x,
\bigl((\cos x)^{-17}\bigr)'=-17\,(\cos x)^{-18}\,(-\sin x) =17\,\sin x\,(\cos x)^{-18}.
Logo,
v'(x) =-33\,(\sin x)^{-34}\cos x\;(\cos x)^{-17} +17\,(\sin x)^{-33}\sin x\;(\cos x)^{-18}.
Simplificando os expoentes de \cos x e \sin x:
v'(x) =-33\,(\sin x)^{-34}(\cos x)^{-16} +17\,(\sin x)^{-32}(\cos x)^{-18}.

Passo 5

Substituindo v'(x) em f'(x) e colocando tudo sobre um mesmo denominador (\sin x)^{34}(\cos x)^{18}:
f'(x) =2x\,(\sin x)^{-33}(\cos x)^{-17} +x^{2}\Bigl[-33\,(\sin x)^{-34}(\cos x)^{-16} +17\,(\sin x)^{-32}(\cos x)^{-18}\Bigr].
Escrevendo tudo como fração única:
2x\,(\sin x)^{-33}(\cos x)^{-17} =\frac{2x\,\sin x\,\cos x}{(\sin x)^{34}(\cos x)^{18}},
-33\,(\sin x)^{-34}(\cos x)^{-16} =\frac{-33\cos^{2}x}{(\sin x)^{34}(\cos x)^{18}}, \quad 17\,(\sin x)^{-32}(\cos x)^{-18} =\frac{17\sin^{2}x}{(\sin x)^{34}(\cos x)^{18}}.
Assim,
f'(x) =\frac{2x\,\sin x\,\cos x +x^{2}\bigl(-33\cos^{2}x+17\sin^{2}x\bigr)} {(\sin x)^{34}(\cos x)^{18}}.

Resposta

f'(x) =\frac{2x\,\sin x\,\cos x +x^{2}\bigl(17\sin^{2}x-33\cos^{2}x\bigr)} {(\sin x)^{34}\,(\cos x)^{18}}.

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