Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
(n) f(x)=\cot \left(3 x^{2}+5\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\cot\bigl(3x^2+5\bigr). Neste caso vamos usar dois conteúdos:
  1. A derivada da função g(u)=\cot(u), que é
g'(u) = -\csc^2(u).
  1. A regra da cadeia, que diz que se f(x)=g\bigl(u(x)\bigr), então
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 2

Identificamos a função interna
u(x)=3x^2+5
cuja derivada é
u'(x)=6x.
Aplicando a regra da cadeia à nossa f(x), obtemos
f'(x) =\frac{d}{dx}\cot\bigl(u(x)\bigr) =-\csc^2\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =-\csc^2\bigl(3x^2+5\bigr)\cdot6x.

Resposta

f'(x)=-6x\,\csc^2\bigl(3x^2+5\bigr).

Exercícios relacionados