Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
(g) f(x)=\frac{\sqrt{x}+\csc x}{x^{3}+3 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\sqrt{x}+\csc x}{x^{3}+3x^{2}}\,.
O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra do quociente, junto com as derivadas básicas \frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr)=\frac1{2\sqrt{x}} e \frac{d}{dx}(\csc x)=-\csc x\cot x.

Passo 2

Definimos
u(x)=\sqrt{x}+\csc x \quad\text{e}\quad v(x)=x^{3}+3x^{2}\,.
Então
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr)+\frac{d}{dx}(\csc x) =\frac1{2\sqrt{x}}-\csc x\cot x\,.

Passo 3

Calculamos
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+3x^{2}\bigr) =3x^{2}+6x\,.

Passo 4

Pela regra do quociente \bigl(\tfrac u v\bigr)'=(u'v - u\,v')/v^{2}, temos
f'(x) =\frac{\bigl(\tfrac1{2\sqrt{x}}-\csc x\cot x\bigr)\,(x^{3}+3x^{2}) -(\sqrt{x}+\csc x)\,(3x^{2}+6x)} {(x^{3}+3x^{2})^{2}}\,.

Passo 5

Podemos notar que x^{3}+3x^{2}=x^{2}(x+3), logo o denominador fica (x^{2}(x+3))^{2}=x^{4}(x+3)^{2}. Mantendo o numerador expandido conforme o passo anterior, o resultado final é

Resposta

f'(x) =\frac{\bigl(\tfrac1{2\sqrt{x}}-\csc x\cot x\bigr)\,(x^{3}+3x^{2}) -(\sqrt{x}+\csc x)\,(3x^{2}+6x)} {\bigl(x^{3}+3x^{2}\bigr)^{2}}\,.

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