Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
(xi) f(x)=\left(e^{x}+3 x\right)^{\arcsin \left(x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x) = \bigl(e^x + 3x\bigr)^{\arcsin(x^2)}.
Aqui o conteúdo principal é a derivada de uma função da forma g(x)^{h(x)}. Vamos usar logaritmo e regra da cadeia, além de conhecer as derivadas de e^x e de \arcsin(u).

Passo 2

Definimos
g(x) = e^x + 3x, \quad h(x) = \arcsin(x^2).
Para f(x)=g(x)^{h(x)} usamos a ideia de derivar \ln f(x)=h(x)\,\ln g(x). Assim
\frac{f'(x)}{f(x)} = h'(x)\,\ln g(x) + h(x)\,\frac{g'(x)}{g(x)},
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f'(x) = g(x)^{h(x)}\Bigl[h'(x)\,\ln g(x) + h(x)\,\frac{g'(x)}{g(x)}\Bigr].

Passo 3

Calculamos g'(x) e h'(x):
g'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^x + 3x\bigr) = e^x + 3,
h'(x) = \frac{d}{dx}\arcsin(x^2) = \frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}.

Passo 4

Substituindo em
f'(x) = (e^x + 3x)^{\arcsin(x^2)} \Biggl[ \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}\;\ln\bigl(e^x + 3x\bigr) \;+\; \arcsin(x^2)\;\frac{e^x + 3}{e^x + 3x} \Biggr].

Resposta

f'(x) = (e^x + 3x)^{\arcsin(x^2)} \Biggl[ \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}\;\ln\bigl(e^x + 3x\bigr) \;+\; \arcsin(x^2)\;\frac{e^x + 3}{e^x + 3x} \Biggr].

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