Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
f(x)=\sqrt[6]{x \tan ^{2} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt[6]{x\tan^{2}x}
Isso envolve duas ideias principais de cálculo diferencial: a regra da cadeia (para a raiz de índice 6) e a regra do produto (para x\tan^{2}x).

Passo 2

Defina
u(x)=x\tan^{2}x,
de modo que
f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{\tfrac{1}{6}}.

Passo 3

Aplique a regra da cadeia a
f(x)=u(x)^{1/6}.
Temos
f'(x)=\frac{1}{6}\,u(x)^{-\tfrac{5}{6}}\;u'(x).

Passo 4

Calcule u'(x) usando a regra do produto em
u(x)=x\cdot\tan^{2}x.
Primeiro termo: derivada de x é 1, vezes \tan^{2}x.
Segundo termo: x vezes a derivada de \tan^{2}x, que pela regra da cadeia é
\frac{d}{dx}\bigl(\tan^{2}x\bigr)=2\,\tan x\cdot\operatorname{sec}^{2}x.
Logo
u'(x)=\tan^{2}x \;+\; x\cdot2\tan x\,\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Substituindo u(x) e u'(x) em
f'(x)=\frac{1}{6}\,u(x)^{-\tfrac{5}{6}}\,u'(x)
obtém-se
f'(x) =\frac{1}{6}\bigl(x\tan^{2}x\bigr)^{-\tfrac{5}{6}} \Bigl(\tan^{2}x+2x\tan x\,\operatorname{sec}^{2}x\Bigr).

Resposta

f'(x) =\frac{\tan^{2}x+2x\tan x\,\operatorname{sec}^{2}x}{6\,(x\tan^{2}x)^{5/6}}.

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