Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
f(x)=x \sin x \cos x

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x\sin x\cos x
e pede f'(x). Vamos usar a regra do produto e identidades trigonométricas para facilitar.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin x\cos x=\tfrac12\sin(2x)
para reescrever
f(x)=x\sin x\cos x=\tfrac12\,x\sin(2x).

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto a
g(x)=\tfrac12\,x \quad\text{e}\quad h(x)=\sin(2x).
Temos
f'(x)=g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x).
Sabendo que g'(x)=\tfrac12 e h'(x)=2\cos(2x), segue
f'(x)=\tfrac12\sin(2x)+\tfrac12\,x\cdot2\cos(2x).

Passo 4

Bastam simplificar os termos:
f'(x)=\tfrac12\sin(2x)+x\cos(2x).

Resposta

f'(x)=x\cos(2x)+\tfrac12\sin(2x).

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