Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
(j) f(x)=x \sin x \cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x\sin x\cos x
Para isso vamos usar a regra do produto e uma identidade trigonométrica que simplifica o cálculo.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin x\cos x=\tfrac12\sin(2x)
para reescrever
f(x)=x\sin x\cos x=\frac{x}{2}\,\sin(2x).

Passo 3

Para derivar \tfrac{x}{2}\sin(2x) fatoramos \tfrac12 e aplicamos a regra do produto em x\sin(2x):
f'(x)=\frac12\frac{d}{dx}\bigl[x\sin(2x)\bigr] =\frac12\Bigl(\sin(2x)+x\cdot\frac{d}{dx}\sin(2x)\Bigr).
Como
\frac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x),
segue
f'(x)=\frac12\bigl(\sin(2x)+2x\cos(2x)\bigr) =\frac12\sin(2x)+x\cos(2x).

Resposta

f'(x)=\frac12\sin(2x)+x\cos(2x).

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