2 Uma fábrica de confecções produz dois modelos de camisas de luxo. Uma camisa do modelo A necessita de 1 metro de tecido, 4 horas de trabalho e custa \mathrm{R} \ 120,00 . Uma camisa do modelo B necessita de 1,5 metros de tecido, 3 horas de trabalho e custa R$160,00$. Sabendo que a fábrica dispõe diariamente de 150 metros de tecido, 360 horas de trabalho e que consegue vender tudo o que fabrica, quantas camisas de cada modelo será preciso fabricar para obter um rendimento máximo?

Passo 1

O enunciado descreve um problema de programação linear em que queremos maximizar o rendimento diário de uma fábrica de camisas. Cada camisa do modelo A gera receita de \mathrm{R}\$\,120 e consome 1 m de tecido e 4 h de trabalho; cada camisa do modelo B gera receita de \mathrm{R}\$\,160 e consome 1{,}5 m de tecido e 3 h de trabalho. A fábrica dispõe de 150 m de tecido e 360 h de trabalho por dia. Vamos definir variáveis, montar o modelo, encontrar os vértices da região viável e calcular a receita em cada um para escolher o máximo.

Passo 2

Definimos
\displaystyle x= número de camisas do modelo A produzidas por dia
\displaystyle y= número de camisas do modelo B produzidas por dia
A função objetivo (receita diária) é
R(x,y)=120\,x+160\,y
sujeita às restrições de recursos:
\begin{cases} x+1{,}5\,y\le150,\\\\ 4\,x+3\,y\le360,\\\ x\ge0,\quad y\ge0. \end{cases}

Passo 3

Encontramos os vértices da região poligonal viável, que são as interseções das restrições com os eixos:
  1. Interseção com x-eixo: y=0 em x+1{,}5\cdot0=150 (x,y)=(150,0), mas verifica se cabe no segundo: 4\cdot150+3\cdot0=600>360, não é viável. Em vez disso, a interseção real com y=0 vem de 4x+3\cdot0=360, dando (x,y)=(90,0).
  2. Interseção com y-eixo: x=0 em x+1{,}5y=150 (0,100), e cabe em 4\cdot0+3\cdot100=300\le360, logo (0,100) é vértice viável.
  3. Origem (0,0) é sempre viável.

Passo 4

Calculamos a interseção das duas restrições ativas simultaneamente, resolvendo o sistema
\begin{cases} x+1{,}5\,y=150,\\\\ 4\,x+3\,y=360. \end{cases}
Da primeira tiramos x=150-1{,}5y. Substituindo na segunda:
4(150-1{,}5y)+3y=360 \quad\Longrightarrow\quad 600-6y+3y=360 \quad\Longrightarrow\quad 3y=240 \quad\Longrightarrow\quad y=80.
Então x=150-1{,}5\cdot80=30. Temos o vértice (30,80).

Passo 5

Avaliamos R(x,y) em cada vértice viável:
  1. Em (0,0):
R(0,0)=120\cdot0+160\cdot0=0.
  1. Em (90,0):
R(90,0)=120\cdot90+160\cdot0=10800.
  1. Em (0,100):
R(0,100)=120\cdot0+160\cdot100=16000.
  1. Em (30,80):
R(30,80)=120\cdot30+160\cdot80=3600+12800=16400.

Passo 6

Comparando os valores, o máximo de \mathrm{R}\$\,16400 ocorre em (x,y)=(30,80).

Resposta

Produzir 30 camisas do modelo A e 80 camisas do modelo B.

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