5 Considere três objetos, 1,2 e 3 , com a mesma altura, mas com raios diferentes \mathrm{R}_{1}, R_{2} e R_{3}, respectivamente. O comprimento e a largura da caixa são A e B, respectivamente. As coordenadas dos centros dos três cilindros são: \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) e \left(\mathrm{x}_{3}, \mathrm{y}_{3}\right). Formule o problema de programação não-linear de modo a minimizar o a área da base de uma caixa retangular.

Passo 1

A questão pede para posicionar três cilindros de raios \,R_1,R_2,R_3 sobre a base de uma caixa retangular de dimensões A\times B, de modo que eles não se sobreponham nem ultrapassem as bordas, e que a área da base da caixa seja mínima. O conteúdo é formulação de um problema de Programação Não-Linear (PNL).

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão:
\;A = comprimento da base da caixa,
\;B = largura da base da caixa,
\;x_i,y_i = coordenadas do centro do cilindro i, para i=1,2,3.

Passo 3

O objetivo é minimizar a área da base da caixa. Em forma matemática:
\min_{A,B,x_i,y_i}\;f(A,B)=A\,B.

Passo 4

As restrições de não sobreposição entre pares de cilindros i e j ( i<j) vêm da distância entre centros maior ou igual à soma dos raios:
(x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2 \;\ge\; (R_i + R_j)^2,\quad i,j\in\{1,2,3\},\;i<j.

Passo 5

As restrições que garantem que cada cilindro fique totalmente dentro da base são, para i=1,2,3:
R_i \;\le\; x_i \;\le\; A - R_i,
R_i \;\le\; y_i \;\le\; B - R_i.

Passo 6

Adicionalmente, impomos
A\ge \max\{2R_1,2R_2,2R_3\},\quad B\ge \max\{2R_1,2R_2,2R_3\},
para que a caixa seja grande o suficiente para conter cada cilindro isoladamente.

Resposta

\begin{aligned} &\min_{\,A,B,x_i,y_i}\quad A\,B\\\ &\text{sujeito a}\\\ &(x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2 \;\ge\; (R_i + R_j)^2,\quad 1\le i<j\le3,\\\ &R_i \;\le\; x_i \;\le\; A - R_i,\quad R_i \;\le\; y_i \;\le\; B - R_i,\quad i=1,2,3,\\\ &A\ge \max\{2R_1,2R_2,2R_3\},\quad B\ge \max\{2R_1,2R_2,2R_3\}. \end{aligned}

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