2 Uma fábrica de confecções produz dois modelos de camisas de luxo. Uma camisa do modelo A necessita de 1 metro de tecido, 4 horas de trabalho e custa \mathrm{R} \ 120,00 . Uma camisa do modelo B necessita de 1,5 metros de tecido, 3 horas de trabalho e custa R$160,00$. Sabendo que a fábrica dispõe diariamente de 150 metros de tecido, 360 horas de trabalho e que consegue vender tudo o que fabrica, quantas camisas de cada modelo será preciso fabricar para obter um rendimento máximo?

Passo 1

O enunciado é um problema de programação linear em que queremos maximizar o rendimento diário da fábrica de camisas. Cada camisa do modelo A gera \mathrm{R}\$120 e cada camisa do modelo B gera \mathrm{R}\$160. As restrições diárias são 150 m de tecido e 360 h de trabalho. Vamos usar variáveis, montar a função objetivo e as inequações, depois aplicar o Teorema dos Vértices (avaliar os cantos da região viável).

Passo 2

Definimos
x= número de camisas modelo A
y= número de camisas modelo B
A função objetivo (rendimento) é
\max z = 120x + 160y
As restrições são
\begin{cases} x + 1,5\,y \le 150 &\text{(tecido)}\\[6pt] 4x + 3\,y \le 360 &\text{(trabalho)}\\[4pt] x \ge 0,\quad y \ge 0 \end{cases}]

Passo 3

Encontramos os vértices da região viável nos eixos:
1\). Se \(y=0\), então \[\begin{cases} x \le 150 &(\text{tecido})\\\\ 4x \le 360 \implies x \le 90 &(\text{trabalho}) \end{cases}
Logo o ponto é ((x,y)=(90,0)].
2\). Se \(x=0\), então \[\begin{cases} 1,5\,y \le 150 \implies y \le 100\\\\ 3\,y \le 360 \implies y \le 120 \end{cases}
Logo o ponto é ((x,y)=(0,100)].

Passo 4

Calculamos o ponto de interseção das duas restrições ativas
\begin{cases} x + 1,5\,y = 150\\\\ 4x + 3\,y = 360 \end{cases}
Da primeira: x = 150 - 1,5\,y. Substituindo na segunda:
4(150 - 1,5\,y) + 3\,y = 360 \;\Longrightarrow\; 600 - 6\,y + 3\,y = 360 \;\Longrightarrow\; 3\,y = 240 \;\Longrightarrow\; y = 80.
Então x = 150 - 1,5\cdot80 = 150 - 120 = 30. Ponto (30,80).

Passo 5

Avaliamo-s a função objetivo nos vértices:
\begin{aligned} z(90,0)&=120\cdot90 + 160\cdot0 = 10\,800,\\\ z(0,100)&=120\cdot0 + 160\cdot100 = 16\,000,\\\ z(30,80)&=120\cdot30 + 160\cdot80 = 3\,600 + 12\,800 = 16\,400. \end{aligned}
O maior rendimento é 16\,400 em (x,y)=(30,80).

Resposta

Será preciso fabricar 30 camisas do modelo A e 80 camisas do modelo B para obter rendimento máximo.

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