Por meio da matriz hessiana. avalie a concavidade das funções:
f(x)=\left(x_{1}+2\right)^{2}+\left(x_{2}-1\right)^{2}-3\left(2 x_{1}-x_{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a concavidade de
f(x)=\bigl(x_{1}+2\bigr)^{2}+\bigl(x_{2}-1\bigr)^{2}-3\bigl(2x_{1}-x_{2}\bigr)
usando a matriz hessiana. Para isso vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de f e analisar se a hessiana é definida positiva, negativa ou indefinida.

Passo 2

Calculemos as segundas derivadas parciais de f. Note que os termos quadráticos vindos de \bigl(x_{1}+2\bigr)^{2} e \bigl(x_{2}-1\bigr)^{2} geram constantes, e o termo linear -3(2x_{1}-x_{2}) não contribui para a hessiana. Assim:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}^{2}} = 2, \quad \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}^{2}} = 2, \quad \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}} = \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}} = 0.
Logo, a hessiana é
H = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para verificar se H é definida positiva, olhamos os menores principais:
D_{1} = 2 > 0, \qquad D_{2} = \det(H) = 2\cdot2 - 0 = 4 > 0.
Como todos os menores principais são positivos, H é definida positiva.

Resposta

A hessiana é definida positiva em todo x, portanto f é estritamente convexa.

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