Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
(l) f(x)=\frac{1}{\sin (x-\sin x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1}{\sin\bigl(x-\sin x\bigr)}.
O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia e da derivada da função recíproca. Vamos precisar usar:
  1. Se g(v)=1/v, então g'(v)=-1/v^2.
  2. Se h(u)=\sin(u), então h'(u)=\cos(u).
  3. A derivada de u(x)=x-\sin x é u'(x)=1-\cos x.

Passo 2

Definimos
u(x)=x-\sin x,
de modo que
f(x)=\bigl[\sin\bigl(u(x)\bigr)\bigr]^{-1}.
Aplicamos a derivada da função recíproca:
\frac{d}{dx}\bigl[\sin(u)\bigr]^{-1} =-\bigl[\sin(u)\bigr]^{-2}\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\sin(u)\bigr].

Passo 3

Agora derivamos \sin\bigl(u(x)\bigr) pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\sin\bigl(u(x)\bigr) =\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Como u'(x)=1-\cos x, segue que
\frac{d}{dx}\sin\bigl(u(x)\bigr) =\cos\bigl(u(x)\bigr)\,(1-\cos x).

Passo 4

Substituindo no resultado do Passo 2, obtemos
f'(x) =-\bigl[\sin\bigl(u(x)\bigr)\bigr]^{-2} \cdot\cos\bigl(u(x)\bigr)\,(1-\cos x).
Finalmente voltamos a u(x)=x-\sin x:
f'(x) =-\frac{\cos\bigl(x-\sin x\bigr)\,(1-\cos x)} {\sin^2\bigl(x-\sin x\bigr)}.

Resposta

f'(x) =-\frac{\cos\bigl(x-\sin x\bigr)\,(1-\cos x)} {\sin^2\bigl(x-\sin x\bigr)}.

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