1. Determine os valores de k \in \mathbb{R} de forma que seja diagonalizável a matriz, A=\left[\begin{array}{lll}1 & k & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de k\in\mathbb{R} tais que a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & k & 0\\[6pt]0 & 2 & 0\\[6pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}
seja diagonalizável. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes triangulares, usando autovalores e autovetores, e comparando multiplicidade algébrica e geométrica de cada autovalor.]

Passo 2

Como A é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal principal. Logo:
\lambda=1\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda=2\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 3

Para \lambda=1\) resolvemos \((A-I)x=0\). Temos \[A-I=\begin{pmatrix}0 & k & 0\\[3pt]0 & 1 & 0\\[3pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix},
que gera o sistema
\begin{cases} k\,x_2=0,\\\ x_2=0. \end{cases}
Da segunda equação vem x_2=0\], e a primeira é automaticamente satisfeita. Assim \(x_1 e x_3 ficam livres, então a dimensão do espaço próprio de \lambda=1 é 2, igual à sua multiplicidade algébrica.]

Passo 4

Para \lambda=2 a multiplicidade algébrica é 1, logo o espaço próprio tem dimensão 1. Como, em cada autovalor, a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica, existem 3 autovetores linearmente independentes e A é diagonalizável.

Resposta

A matriz A é diagonalizável para todo k\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados