(a) Se
for uma matriz quadrada e
, então
é um autovetor de
.
(b) Se
for um autovalor de uma matriz
, então o sistema linear
só tem a solução trivial
.
(c) Se o polinômio característico de um operador linear
é
, então
é invertível.
(d) Os autovalores de uma matriz
são iguais aos autovalores da forma escalonada reduzida obtida de
.
(e) Se
é uma matriz invertível e diagonalizável, então
também é diagonalizável.
(f) Se
é uma matriz diagonalizável, então
também é diagonalizável.
(g) Se todo autovalor de um operador ou matriz
tem multiplicidade geométrica 1, então
é diagonalizável.
(b) Se
(c) Se o polinômio característico de um operador linear
(d) Os autovalores de uma matriz
(e) Se
(f) Se
(g) Se todo autovalor de um operador ou matriz
Passo 1
O enunciado apresenta sete afirmações sobre autovetores, autovalores, matriz invertível e diagonalização, pedindo para indicar se cada uma é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve definições de autovetor/autovalor, condição de invertibilidade (autovalor zero), efeito de operações elementares e transposta em autovalores, e critérios de diagonalização ligados à multiplicidade geométrica. Vamos avaliar cada item usando esses conceitos.
Passo 2
Vamos começar lembrando a definição: um vetor
é autovetor de uma matriz
se existe
tal que
.
Item (a): diz “se com
, então
é um autovetor”. Note que a definição exige
, mas nada impede
em
quando
. Logo, sem a hipótese
, não podemos garantir que
seja autovetor. Portanto, (a) é falsa.
Item (b): afirma “se for autovalor, então
só tem solução trivial”. Pelo contrário, a existência de autovalor significa que há solução não trivial. Logo, (b) é falsa.
Item (a): diz “se
Item (b): afirma “se
Passo 3
Item (c): “se o polinômio característico de
é
, então
é invertível”. Um operador é invertível se e somente se zero não é raiz do polinômio característico. Como
, o valor zero não é autovalor, logo
é invertível. Portanto, (c) é verdadeira.
Passo 4
Item (d): “os autovalores de
são iguais aos autovalores da forma escalonada reduzida obtida de
”. Operações de linha (redução) não preservam autovalores em geral, pois mudam determinante e a relação
não se transfere para a forma escalonada. Logo (d) é falsa.
Passo 5
Item (e): “se
é invertível e diagonalizável, então
também é diagonalizável”. Se
, então
com
ainda diagonal. Logo,
é diagonalizável. Assim, (e) é verdadeira.
Item (f): “se é diagonalizável, então
também é diagonalizável”. Se
então
Item (f): “se
que é uma diagonalização de
. Logo (f) é verdadeira.
Passo 6
Item (g): “se todo autovalor de
tem multiplicidade geométrica 1, então
é diagonalizável”. A diagonalização exige que, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica seja igual à multiplicidade algébrica. Ter sempre multiplicidade geométrica 1 não garante igualdade se algum autovalor tiver multiplicidade algébrica maior que 1. Nessas situações,
e
não diagonaliza. Logo, (g) é falsa.
Resposta
(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(e) Verdadeira
(f) Verdadeira
(g) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(e) Verdadeira
(f) Verdadeira
(g) Falsa