(a) Se A for uma matriz quadrada e A v=\lambda v \operatorname{com} \lambda \neq 0, então v é um autovetor de A.
(b) Se \lambda for um autovalor de uma matriz A, então o sistema linear (\lambda I-A) X=0 só tem a solução trivial X=0.
(c) Se o polinômio característico de um operador linear T é p(x)=x^{2}+1, então T é invertível.
(d) Os autovalores de uma matriz A são iguais aos autovalores da forma escalonada reduzida obtida de A.
(e) Se A é uma matriz invertível e diagonalizável, então A^{-1} também é diagonalizável.
(f) Se A é uma matriz diagonalizável, então A^{t} também é diagonalizável.
(g) Se todo autovalor de um operador ou matriz A tem multiplicidade geométrica 1, então A é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado apresenta sete afirmações sobre autovetores, autovalores, matriz invertível e diagonalização, pedindo para indicar se cada uma é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve definições de autovetor/autovalor, condição de invertibilidade (autovalor zero), efeito de operações elementares e transposta em autovalores, e critérios de diagonalização ligados à multiplicidade geométrica. Vamos avaliar cada item usando esses conceitos.

Passo 2

Vamos começar lembrando a definição: um vetor v\neq 0 é autovetor de uma matriz A se existe \lambda tal que A v=\lambda v.
Item (a): diz “se A v=\lambda v com \lambda\neq 0, então v é um autovetor”. Note que a definição exige v\neq 0, mas nada impede v=0 em A v=\lambda v quando \lambda\neq 0. Logo, sem a hipótese v\neq0, não podemos garantir que v seja autovetor. Portanto, (a) é falsa.
Item (b): afirma “se \lambda for autovalor, então (\lambda I - A)X=0 só tem solução trivial”. Pelo contrário, a existência de autovalor significa que há solução não trivial. Logo, (b) é falsa.

Passo 3

Item (c): “se o polinômio característico de T é p(x)=x^{2}+1, então T é invertível”. Um operador é invertível se e somente se zero não é raiz do polinômio característico. Como p(0)=1\neq 0, o valor zero não é autovalor, logo T é invertível. Portanto, (c) é verdadeira.

Passo 4

Item (d): “os autovalores de A são iguais aos autovalores da forma escalonada reduzida obtida de A”. Operações de linha (redução) não preservam autovalores em geral, pois mudam determinante e a relação Av=\lambda v não se transfere para a forma escalonada. Logo (d) é falsa.

Passo 5

Item (e): “se A é invertível e diagonalizável, então A^{-1} também é diagonalizável”. Se A=PDP^{-1}, então
A^{-1}=(PDP^{-1})^{-1}=PD^{-1}P^{-1},
com D^{-1} ainda diagonal. Logo, A^{-1} é diagonalizável. Assim, (e) é verdadeira.
Item (f): “se A é diagonalizável, então A^{t} também é diagonalizável”. Se A=PDP^{-1} então
A^{t}=(PDP^{-1})^{t}=(P^{-1})^{t}D\,P^{t},
que é uma diagonalização de A^{t}. Logo (f) é verdadeira.

Passo 6

Item (g): “se todo autovalor de A tem multiplicidade geométrica 1, então A é diagonalizável”. A diagonalização exige que, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica seja igual à multiplicidade algébrica. Ter sempre multiplicidade geométrica 1 não garante igualdade se algum autovalor tiver multiplicidade algébrica maior que 1. Nessas situações, \text{geométrica}<\text{algébrica}éé e A não diagonaliza. Logo, (g) é falsa.

Resposta

(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(e) Verdadeira
(f) Verdadeira
(g) Falsa

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