Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
(u) f(x)=\frac{\tan (3 x)}{\arctan (3 x)}\'

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\tan(3x)}{\arctan(3x)}.
O conteúdo principal envolve a regra do quociente e a regra da cadeia: para
f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}
temos
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2},
além de saber que
\dfrac{d}{dx}\tan(3x)=\operatorname{sec}^2(3x)\cdot3
e
\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\frac{1}{1+(3x)^2}\cdot3.

Passo 2

Identificamos
u(x)=\tan(3x)
e
v(x)=\arctan(3x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e de v pela regra da cadeia:
u'(x) =\frac{d}{dx}\tan(3x) =3\operatorname{sec}^2(3x),
v'(x) =\frac{d}{dx}\arctan(3x) =\frac{3}{1+(3x)^2} =\frac{3}{1+9x^2}.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{3\operatorname{sec}^2(3x)\,\arctan(3x) -\tan(3x)\,\frac{3}{1+9x^2}} {[\arctan(3x)]^2}.

Passo 5

Podemos colocar 3 em evidência no numerador:
f'(x) =\frac{3\Bigl[\operatorname{sec}^2(3x)\,\arctan(3x) -\dfrac{\tan(3x)}{1+9x^2}\Bigr]}{[\arctan(3x)]^2}.

Resposta

f'(x) =\frac{3\bigl[\operatorname{sec}^2(3x)\,\arctan(3x) -\frac{\tan(3x)}{1+9x^2}\bigr]}{[\arctan(3x)]^2}.

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