Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
(t) f(x)=\left(1+\arctan x^{2}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)^{3}.
Para resolver, vamos usar a regra da cadeia e o fato de que
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan(u)\bigr)=\frac{u'}{1+u^2}.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=1+\arctan(x^2),
de modo que
f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^3.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=3\bigl(u(x)\bigr)^2\cdot u'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x): como u(x)=1+\arctan(v) com v=x^2, temos
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\arctan(x^2)\bigr) =\frac{(x^2)'}{1+(x^2)^2} =\frac{2x}{1+x^4}.

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x)=3u^2\,u', obtemos
f'(x) =3\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)^2\cdot\frac{2x}{1+x^4} =\frac{6x\,\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)^2}{1+x^4}.

Resposta

f'(x)=\frac{6x\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)^2}{1+x^4}.

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