Calcule a derivada de:
f(t)=-4 t^{2} \cos t

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função f definida por
f(t) = -4\, t^{2} \cos t.
Informações dadas:
\text{função: } f(t) = -4\, t^{2} \cos t,\qquad \text{variável: } t.çãá
A pergunta é: qual é f'(t), a derivada de f em relação a t?

Passo 2

Escolha do método: aqui temos um produto entre uma parte polinomial t^{2} e uma função trigonométrica \cos t, multiplicado por uma constante -4. É conveniente fatorar a constante e usar a regra do produto. Vou explicar a regra do produto para você: se h(t)=u(t)\,v(t), então
h'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Isto significa: derivada do primeiro vezes o segundo, mais o primeiro vezes a derivada do segundo. É uma regra que sempre usamos quando temos produtos de funções.

Passo 3

Aplicando a ideia de fatorar a constante, escrevemos
f(t) = -4\cdot\bigl(t^{2}\cos t\bigr).
Logo
f'(t) = -4\cdot\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\cos t\bigr).
Agora vamos aplicar a regra do produto com u(t)=t^{2} e v(t)=\cos t.

Passo 4

Derivadas básicas que vamos usar (explicando rapidinho):
  • Regra da potência: se u(t)=t^{n} então u'(t)=n\,t^{n-1}. Aqui, para t^{2}, temos
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t.
  • Derivada da função cosseno: \dfrac{d}{dt}\bigl(\cos t\bigr)=-\sin t. Essa é uma derivada padrão das funções trigonométricas.

Passo 5

Agora calcule \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{2}\cos t\bigr) usando a regra do produto:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\cos t\bigr) = \underbrace{\frac{d}{dt}(t^{2})}_{=2t}\cdot\cos t + t^{2}\cdot\underbrace{\frac{d}{dt}(\cos t)}_{=-\sin t}.
Portanto
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\cos t\bigr) = 2t\cos t - t^{2}\sin t.

Passo 6

Voltando para f'(t) e multiplicando pela constante -4:
f'(t) = -4\cdot\bigl(2t\cos t - t^{2}\sin t\bigr).

Passo 7

Distribuindo o -4 e simplificando os sinais:
f'(t) = -8t\cos t + 4t^{2}\sin t.
Se preferir uma forma fatorada (às vezes mais útil em provas), fatoramos 4t:
f'(t) = 4t\bigl(t\sin t - 2\cos t\bigr).

Resposta

f'(t)=4t\bigl(t\sin t-2\cos t\bigr)

Exercícios relacionados