Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas: a função é explicitamente
. Queremos encontrar
, a taxa de variação de
em relação a
.
Passo 2
Estratégia escolhida: vamos ver a expressão como a composição de uma função exterior e uma função interior. Quando temos uma função ao quadrado de outra função, é natural usar a regra que dá a derivada de uma composição (regra da cadeia). Vou explicar essa regra de forma bem didática antes de aplicar.
Regra da cadeia (fórmula): se temos
então a derivada é
Significado das letras:
-
é a função interior (aquela que está “dentro”), -
é a função exterior escrita em termos de , -
é a derivada da função exterior em relação a , -
é a derivada da função interior em relação a , - depois substituímos
em e multiplicamos por .
Um exemplo simples (menor) para visualizar: para
temos
e
. Então
e
, logo
.
Passo 3
Identificação das partes no problema: aqui podemos definir
e
Vamos calcular as derivadas de cada parte separadamente.
Derivada da função exterior
:
Derivada da função interior
:
para isso usamos a regra do poder (power rule): a derivada de é
, e a derivada de uma constante é
. Assim,
para isso usamos a regra do poder (power rule): a derivada de
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo
com
e
, obtemos
Passo 5
Simplificando a expressão:
primeiro multiplicamos os constantes e
:
primeiro multiplicamos os constantes
logo
Passo 6
Podemos também expandir para uma forma polinomial, multiplicando
pelos termos dentro do parêntese:
Como verificação alternativa (opcional), poderíamos primeiro expandir a função original:
e derivar termo a termo:
que coincide com o resultado acima. Bom sinal — está correto!