Calcule a derivada de:
y=\left(3 x^{2}+1\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y=\left(3 x^{2}+1\right)^{2}.
Informações dadas: a função é explicitamente \left(3 x^{2}+1\right)^{2}. Queremos encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}, a taxa de variação de y em relação a x.

Passo 2

Estratégia escolhida: vamos ver a expressão como a composição de uma função exterior e uma função interior. Quando temos uma função ao quadrado de outra função, é natural usar a regra que dá a derivada de uma composição (regra da cadeia). Vou explicar essa regra de forma bem didática antes de aplicar.
Regra da cadeia (fórmula): se temos
y = f\big(g(x)\big),
então a derivada é
\frac{dy}{dx} = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Significado das letras:
  • g(x) é a função interior (aquela que está “dentro”),
  • f(u) é a função exterior escrita em termos de u,
  • f'(u) é a derivada da função exterior em relação a u,
  • g'(x) é a derivada da função interior em relação a x,
  • depois substituímos u=g(x) em f'(u) e multiplicamos por g'(x).
Um exemplo simples (menor) para visualizar: para y=(x^2)^2 temos f(u)=u^2 e g(x)=x^2. Então f'(u)=2u e g'(x)=2x, logo y'=2(x^2)\cdot 2x=4x^3.

Passo 3

Identificação das partes no problema: aqui podemos definir
u = g(x) = 3x^{2}+1
e
y = f(u) = u^{2}.
Vamos calcular as derivadas de cada parte separadamente.
Derivada da função exterior f(u)=u^{2}:
f'(u)=2u.
Derivada da função interior g(x)=3x^{2}+1:
para isso usamos a regra do poder (power rule): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}, e a derivada de uma constante é 0. Assim,
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(3x^{2}+1\big)=3\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)+\frac{d}{dx}(1)=3\cdot 2x + 0 = 6x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Substituindo f'(u)=2u com u=g(x)=3x^{2}+1 e g'(x)=6x, obtemos
\frac{dy}{dx}=2\big(3x^{2}+1\big)\cdot 6x.

Passo 5

Simplificando a expressão:
primeiro multiplicamos os constantes 2 e 6x:
2\cdot 6x = 12x,
logo
\frac{dy}{dx}=12x\big(3x^{2}+1\big).

Passo 6

Podemos também expandir para uma forma polinomial, multiplicando 12x pelos termos dentro do parêntese:
12x\big(3x^{2}+1\big)=12x\cdot 3x^{2} + 12x\cdot 1 = 36x^{3}+12x.
Como verificação alternativa (opcional), poderíamos primeiro expandir a função original:
\left(3x^{2}+1\right)^{2}=9x^{4}+6x^{2}+1,
e derivar termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(9x^{4}+6x^{2}+1\big)=36x^{3}+12x+0,
que coincide com o resultado acima. Bom sinal — está correto!

Resposta

y'=12x\left(3x^{2}+1\right)
y'=36x^{3}+12x

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