Calcule a derivada de:
Passo 1
O problema dá a função
definida por
e pede para calcular a derivada
. Informações relevantes que temos:
- A variável independente é
. - A segunda parcela
está definida apenas para ; portanto o domínio natural da função (e da sua derivada) é . - Objetivo: encontrar uma expressão para
válida para todo .
Passo 2
Escolha do método (explicação didática das regras que vamos usar).
- Regra da linearidade da derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas. Em símbolos:
Isto significa que podemos derivar cada parcela separadamente.
- Regra do potencial (power rule): para uma potência inteira (e, em particular, para expoentes negativos inteiros) vale
onde
é um número (por exemplo
ou
). Vou aplicar essas duas regras porque são as mais simples e diretas aqui.
Passo 3
Reescrever a função para usar a regra do potencial com clareza:
Logo podemos escrever
Passo 4
Agora aplicamos a linearidade e a regra do potencial parcela a parcela.
- Derivada de
: usando com ,
- Derivada de
: usando a mesma regra com ,
Somando as duas contribuições (linearidade),
Passo 5
Escrever em formas equivalentes mais usuais e lembrar do domínio:
- Forma com fração:
- Outra forma fatorada (opcional):
Todas são equivalentes; todas são válidas para
. Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia:
.