Calcule a derivada de:
F(t)=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}

Passo 1

O problema dá a função F definida por
F(t)=t^{2}+\frac{1}{t^{2}},
e pede para calcular a derivada F'(t). Informações relevantes que temos:
  • A variável independente é t.
  • A segunda parcela \dfrac{1}{t^{2}} está definida apenas para t\neq 0; portanto o domínio natural da função (e da sua derivada) é t\neq 0.
  • Objetivo: encontrar uma expressão para F'(t) válida para todo t\neq 0.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática das regras que vamos usar).
  • Regra da linearidade da derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas. Em símbolos:
\frac{d}{dt}\big(u(t)+v(t)\big)=\frac{d}{dt}u(t)+\frac{d}{dt}v(t).
Isto significa que podemos derivar cada parcela separadamente.
  • Regra do potencial (power rule): para uma potência inteira (e, em particular, para expoentes negativos inteiros) vale
\frac{d}{dt}\big(t^{n}\big)=n\,t^{n-1},
onde n é um número (por exemplo n=2 ou n=-2). Vou aplicar essas duas regras porque são as mais simples e diretas aqui.

Passo 3

Reescrever a função para usar a regra do potencial com clareza:
\frac{1}{t^{2}}=t^{-2}.
Logo podemos escrever
F(t)=t^{2}+t^{-2}.

Passo 4

Agora aplicamos a linearidade e a regra do potencial parcela a parcela.
  • Derivada de t^{2}: usando \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1} com n=2,
\frac{d}{dt}\big(t^{2}\big)=2t.
  • Derivada de t^{-2}: usando a mesma regra com n=-2,
\frac{d}{dt}\big(t^{-2}\big)=-2\,t^{-3}.
Somando as duas contribuições (linearidade),
F'(t)=2t+(-2\,t^{-3})=2t-2\,t^{-3}.

Passo 5

Escrever em formas equivalentes mais usuais e lembrar do domínio:
  • Forma com fração:
F'(t)=2t-\frac{2}{t^{3}}.
  • Outra forma fatorada (opcional):
F'(t)=2\Bigl(t-\frac{1}{t^{3}}\Bigr)=\frac{2(t^{4}-1)}{t^{3}}.
Todas são equivalentes; todas são válidas para t\neq 0. Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: F'(1)=2\cdot1-2/1^{3}=0.

Resposta

\displaystyle F'(t)=2t-\frac{2}{t^{3}}

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