Calcule a derivada de:
h(x)=\frac{7}{x^{2}+5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
h(x)=\frac{7}{x^{2}+5}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função é dada por um numerador constante 7 e um denominador x^{2}+5.
  • O denominador nunca é zero para todo x\in\mathbb{R} porque x^{2}+5>0. Logo h está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • A pergunta é: encontrar h'(x), a derivada de h em função de x.

Passo 2

Vou reescrever a função de uma forma que facilite a diferenciação:
h(x)=7\,(x^{2}+5)^{-1}.
Por que isso ajuda? Porque podemos usar a regra do produto com constante e a regra da cadeia aplicada à potência:
  • Regra do múltiplo constante: a derivada de c\cdot f(x) é c\cdot f'(x), onde c é constante.
  • Regra da potência (caso composto): se temos f(x)=(u(x))^{n}, então
f'(x)=n\,(u(x))^{n-1}\cdot u'(x).
Aqui n=-1 e u(x)=x^{2}+5. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Defino u(x)=x^{2}+5. Calculando a derivada de u:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+5\bigr)=2x.
Explicação curta: a derivada de x^{2} é 2x (regra do poder para polinômios) e a derivada de constante 5 é 0.

Passo 4

Agora aplico a regra da potência com n=-1:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{-1}\bigr) = -1\cdot u(x)^{-2}\cdot u'(x).
Multiplicando pelo fator constante 7 que está fora, obtemos
h'(x)=7\cdot\bigl(-1\bigr)\cdot (x^{2}+5)^{-2}\cdot 2x.

Passo 5

Simplifico os coeficientes numéricos e a expressão:
7\cdot(-1)\cdot 2x = -14x,
portanto
h'(x) = -14x\,(x^{2}+5)^{-2}.

Passo 6

Escrevo a resposta numa forma de fração, que costuma ser mais clara em provas:
h'(x) = -\frac{14x}{\bigl(x^{2}+5\bigr)^{2}}.
Observação final: esta derivada está definida para todo x\in\mathbb{R} porque \bigl(x^{2}+5\bigr)^{2}>0 sempre.

Passo 7

Dica rápida para a prova: sempre que tiver uma função do tipo constante sobre uma expressão, reescreva como constante vezes a expressão com expoente negativo e aplique a regra da potência + cadeia — geralmente é mais direto que usar a regra do quociente.

Resposta

h'(x) = -\frac{14x}{\bigl(x^{2}+5\bigr)^{2}}

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