Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e observações imediatas:
- A função é dada por um numerador constante
e um denominador . - O denominador nunca é zero para todo
porque . Logo está definida para todo . - A pergunta é: encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Vou reescrever a função de uma forma que facilite a diferenciação:
Por que isso ajuda? Porque podemos usar a regra do produto com constante e a regra da cadeia aplicada à potência:
- Regra do múltiplo constante: a derivada de
é , onde é constante. - Regra da potência (caso composto): se temos
, então
Aqui
e
. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Defino
. Calculando a derivada de
:
Explicação curta: a derivada de
é
(regra do poder para polinômios) e a derivada de constante
é
.
Passo 4
Agora aplico a regra da potência com
:
Multiplicando pelo fator constante
que está fora, obtemos
Passo 5
Simplifico os coeficientes numéricos e a expressão:
portanto
Passo 6
Escrevo a resposta numa forma de fração, que costuma ser mais clara em provas:
Observação final: esta derivada está definida para todo
porque
sempre.
Passo 7
Dica rápida para a prova: sempre que tiver uma função do tipo constante sobre uma expressão, reescreva como constante vezes a expressão com expoente negativo e aplique a regra da potência + cadeia — geralmente é mais direto que usar a regra do quociente.