Calcule a derivada de:
k(s)=(3 s)^{-4}

Passo 1

O enunciado fornece a função \,k(s)=(3 s)^{-4}\, e pede para calcular a derivada de k em relação a s.
Informações relevantes:
  • A função é \,k(s)=(3 s)^{-4}\,.
  • Quer-se \dfrac{dk}{ds} (a derivada de k em relação a s).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão usando a propriedade de potências \,(ab)^n = a^n b^n\,. Aplicando isso a (3s)^{-4} temos:
(3s)^{-4}=3^{-4}\,s^{-4}.
Agora calculo 3^{-4}:
3^{-4}=\frac{1}{3^{4}}=\frac{1}{81}.
Portanto podemos escrever a função de forma mais simples:
k(s)=\frac{1}{81}\,s^{-4}.

Passo 3

Apresento a regra que vou usar (explicando com calma): a regra da potência diz que, para qualquer número real n,
\frac{d}{ds}\big(s^{n}\big)=n\,s^{n-1}.
Aqui s é a variável e n é um expoente fixo. A regra significa que para derivar uma potência de s multiplicamos pelo expoente e diminuímos esse expoente em uma unidade. Exemplo rápido: \dfrac{d}{ds}(s^{3})=3s^{2}.

Passo 4

Agora aplico a regra da potência à expressão \,s^{-4}\,. Pela fórmula:
\frac{d}{ds}\big(s^{-4}\big)=-4\,s^{-5}.
Como há uma constante multiplicativa \dfrac{1}{81} fora da potência, ela permanece multiplicando a derivada (regra da constante multiplicativa). Assim:
\frac{dk}{ds}=\frac{1}{81}\cdot\big(-4\,s^{-5}\big) = -\frac{4}{81}\,s^{-5}.
Posso também escrever essa resposta com s no denominador:
\frac{dk}{ds}=-\frac{4}{81\,s^{5}}.

Passo 5

Para reforçar a compreensão, mostro rapidamente uma alternativa usando a regra da cadeia (mesma resposta, só outra via): defina u=3s, então k(u)=u^{-4}. Pela regra da cadeia,
\frac{dk}{ds}=\frac{dk}{du}\frac{du}{ds}=(-4)u^{-5}\cdot 3 = -12(3s)^{-5}.
Simplificando -12(3s)^{-5}=-12/(3^{5}s^{5})=-4/(81\,s^{5}), que coincide com o resultado anterior. Boa checagem!

Passo 6

Observação sobre domínio: a expressão e sua derivada estão definidas para \,s\neq 0\, (porque aparecem potências negativas de s).

Resposta

-\dfrac{4}{81}\,s^{-5}

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