Calcule a derivada de:
h(x)=(5 x-4)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=(5x-4)^{2} e pede a derivada de h, ou seja, h'(x).
Informações relevantes: a expressão é uma composição de uma função linear 5x-4 elevada ao quadrado.

Passo 2

Vou explicar a regra que vou usar (cadeia + regra da potência), de modo bem didático.
Regra da potência (caso simples): para f(x)=x^{n} vale
f'(x)=n x^{n-1}.
Aqui n é um número real que indica a potência, e x é a variável.
Regra da cadeia (para composição): se h(x)=\big(g(x)\big)^{n}, então
h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n-1}\cdot g'(x).
Explicando: g(x) é a função interna (o que está sendo elevada), n é o expoente, e g'(x) é a derivada da função interna. A ideia é derivar a parte externa como se fosse u^{n} (obtendo n u^{n-1}) e multiplicar pela derivada da parte interna u'=g'(x).

Passo 3

Identificar função externa e interna na nossa expressão:
  • Função interna: g(x)=5x-4.
  • Função externa: u \mapsto u^{2} (ou seja, n=2).
Agora calcule a derivada da função interna:
g'(x)=\frac{d}{dx}(5x-4)=5,
porque a derivada de 5x é 5 e a derivada de uma constante ( -4) é 0.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia com n=2, g(x)=5x-4 e g'(x)=5:
h'(x)=2\big(5x-4\big)^{2-1}\cdot 5.

Passo 5

Simplificando a expressão obtida em

Passo 6

Primeiro 2-1=1, então
h'(x)=2\big(5x-4\big)\cdot 5.
Multiplicando 2 por 5 10, logo
h'(x)=10\big(5x-4\big).

Passo 7

Podemos distribuir para deixar em forma polinomial:
h'(x)=10\cdot 5x - 10\cdot 4 = 50x - 40.

Passo 8

Pequena checagem numérica para ganhar confiança: escolha x=1.
  • Pela forma fatorada: h'(1)=10(5\cdot1-4)=10(1)=10.
  • Pela forma expandida: h'(1)=50\cdot1-40=10.
    As duas dão o mesmo valor, coerente com os cálculos.

Resposta

50x-40

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