Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada de
, ou seja,
.
Informações relevantes: a expressão é uma composição de uma função linear elevada ao quadrado.
Informações relevantes: a expressão é uma composição de uma função linear
Passo 2
Vou explicar a regra que vou usar (cadeia + regra da potência), de modo bem didático.
Regra da potência (caso simples): para
vale
Aqui
é um número real que indica a potência, e
é a variável.
Regra da cadeia (para composição): se
, então
Explicando:
é a função interna (o que está sendo elevada),
é o expoente, e
é a derivada da função interna. A ideia é derivar a parte externa como se fosse
(obtendo
) e multiplicar pela derivada da parte interna
.
Passo 3
Identificar função externa e interna na nossa expressão:
- Função interna:
. - Função externa:
(ou seja, ).
Agora calcule a derivada da função interna:
porque a derivada de
é
e a derivada de uma constante (
) é
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia com
,
e
:
Passo 5
Simplificando a expressão obtida em
Passo 6
Primeiro
, então
Multiplicando
por
dá
, logo
Passo 7
Podemos distribuir para deixar em forma polinomial:
Passo 8
Pequena checagem numérica para ganhar confiança: escolha
.
- Pela forma fatorada:
. - Pela forma expandida:
.
As duas dão o mesmo valor, coerente com os cálculos.