Calcule a derivada de:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (peguei tudo do enunciado):
- Função dada:
. - Objetivo: calcular a derivada
.
Informações úteis imediatas: - A raiz cúbica pode ser escrita como potência:
. - A função está definida para todo
real, exceto quando o denominador zera, isto é, .
Não resolvo nada ainda; apenas organizei os dados.
Passo 2
Escolha do método e fórmula que vou usar:
- Aqui é natural usar a regra do quociente. A regra do quociente diz o seguinte: se
e são funções diferenciáveis e , então
- Identifico as partes da nossa função:
Passo 3
Derivar
e
usando regras básicas:
- Regra da potência: para todo expoente
, .
Aplicando com:
- Derivada da função afim
:
Passo 4
Aplicar a regra do quociente e simplificar passo a passo:
- Pela regra do quociente,
- Faço a multiplicação na parte superior:
e . Então
Passo 5
Fatorar para uma forma mais simples e obter a expressão final:
- Fatoreio
do numerador:
- Substituindo no quociente:
- Reescrevendo
como raiz cúbica no denominador:
Observação sobre domínio da derivada: essa expressão exige
(porque aparece
no denominador) e também
(por causa de
no denominador). A função original está definida em
, mas a derivada não é finita ali.