Calcule a derivada de:
g(t)=\frac{\sqrt[3]{t^{2}}}{3 t-5}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (peguei tudo do enunciado):
  • Função dada: g(t)=\dfrac{\sqrt[3]{t^{2}}}{3 t-5}.
  • Objetivo: calcular a derivada g'(t).
    Informações úteis imediatas:
  • A raiz cúbica pode ser escrita como potência: \sqrt[3]{t^{2}} = t^{2/3}.
  • A função está definida para todo t real, exceto quando o denominador zera, isto é, t \neq \dfrac{5}{3}.
    Não resolvo nada ainda; apenas organizei os dados.

Passo 2

Escolha do método e fórmula que vou usar:
  • Aqui é natural usar a regra do quociente. A regra do quociente diz o seguinte: se u(t) e v(t) são funções diferenciáveis e h(t)=\dfrac{u(t)}{v(t)}, então
h'(t)=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{[v(t)]^{2}}.
  • Identifico as partes da nossa função:
u(t)=\sqrt[3]{t^{2}}=t^{2/3},\qquad v(t)=3t-5.

Passo 3

Derivar u(t) e v(t) usando regras básicas:
  • Regra da potência: para todo expoente n, (t^{n})' = n\,t^{n-1}.
    Aplicando com n=\tfrac{2}{3}:
u'(t)=\left(t^{2/3}\right)'=\frac{2}{3}\,t^{2/3-1}=\frac{2}{3}\,t^{-1/3}.
  • Derivada da função afim v(t)=3t-5:
v'(t)=3.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente e simplificar passo a passo:
  • Pela regra do quociente,
g'(t)=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{[v(t)]^{2}} =\frac{\dfrac{2}{3}t^{-1/3}(3t-5)-t^{2/3}\cdot 3}{(3t-5)^{2}}.
  • Faço a multiplicação na parte superior: \dfrac{2}{3}t^{-1/3}\cdot 3t = 2t^{2/3} e \dfrac{2}{3}t^{-1/3}\cdot(-5) = -\dfrac{10}{3}t^{-1/3}. Então
\text{numerador} = 2t^{2/3}-\frac{10}{3}t^{-1/3}-3t^{2/3} = -t^{2/3}-\frac{10}{3}t^{-1/3}.

Passo 5

Fatorar para uma forma mais simples e obter a expressão final:
  • Fatoreio t^{-1/3} do numerador:
-t^{2/3}-\frac{10}{3}t^{-1/3} = t^{-1/3}\!\left(-t-\frac{10}{3}\right) = -\frac{1}{3}t^{-1/3}(3t+10).
  • Substituindo no quociente:
g'(t)=\frac{-\dfrac{1}{3}t^{-1/3}(3t+10)}{(3t-5)^{2}} = -\frac{3t+10}{3(3t-5)^{2}}\,t^{-1/3}.
  • Reescrevendo t^{-1/3} como raiz cúbica no denominador:
g'(t) = -\frac{3t+10}{3(3t-5)^{2}\,\sqrt[3]{t}}.
Observação sobre domínio da derivada: essa expressão exige t\neq 0 (porque aparece \sqrt[3]{t} no denominador) e também t\neq \dfrac{5}{3} (por causa de (3t-5)^{2} no denominador). A função original está definida em t=0, mas a derivada não é finita ali.

Resposta

\displaystyle g'(t) = -\frac{3t+10}{3(3t-5)^{2}\,\sqrt[3]{t}}

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