Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
, onde a função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão contém potências negativas e frações; cuidado com a interpretação de
. - Devemos ter
onde aparecem no denominador (ou ). - Objetivo: encontrar
de forma simplificada.
Passo 2
Interpretando e simplificando o numerador. A expressão
significa "três dividido por
". Lembrando que
, dividir por
é o mesmo que multiplicar por
. Logo,
Passo 3
Simplificar o denominador. A parte
pode ser escrita usando potência negativa:
Assim, após a simplificação do numerador, a função fica
Para eliminar a potência negativa no denominador, multiplico numerador e denominador por
(válido para
):
Essa forma
é mais simples para derivar.
Passo 4
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas de modo concreto):
- Regra da potência: a derivada de
é . Ex.: a derivada de é . - Regra da constante multiplicativa: a derivada de
é . - Derivada de soma:
. - Regra do quociente: para
com ,
Vou aplicar a regra do quociente à forma simplificada
.
Passo 5
Identificar
e
e calcular suas derivadas:
- Seja
. Pela regra da potência e da constante,
- Seja
. Derivando termo a termo,
Passo 6
Aplicar a regra do quociente substituindo
,
,
,
:
Passo 7
Simplificar o numerador passo a passo:
- Expandir os termos:
- Subtrair:
- Colocar em evidência
para simplificar:
Portanto a derivada fica
Passo 8
Breve verificação rápida (sanity check): os passos algébricos são consistentes com regras usadas; a expressão final está fatorada e é equivalente à forma expandida. Lembrar que tudo vale para
(domínio original).