Calcule a derivada de:
f(t)=\frac{3 /(5 t)^{-1}}{\left(2 / t^{2}\right)+7}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(t), onde a função dada é
f(t)=\frac{3 /(5 t)^{-1}}{\left(2 / t^{2}\right)+7}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão contém potências negativas e frações; cuidado com a interpretação de 3 /(5 t)^{-1}.
  • Devemos ter t\neq0 onde aparecem t no denominador (ou t^{-2}).
  • Objetivo: encontrar f'(t) de forma simplificada.

Passo 2

Interpretando e simplificando o numerador. A expressão 3 /(5 t)^{-1} significa "três dividido por (5t)^{-1}". Lembrando que (5t)^{-1}=\dfrac{1}{5t}, dividir por (5t)^{-1} é o mesmo que multiplicar por 5t. Logo,
3 /(5 t)^{-1}=3\cdot(5t)=15t.

Passo 3

Simplificar o denominador. A parte \left(2 / t^{2}\right)+7 pode ser escrita usando potência negativa:
\left(2 / t^{2}\right)+7 = 2t^{-2}+7.
Assim, após a simplificação do numerador, a função fica
f(t)=\frac{15t}{2t^{-2}+7}.
Para eliminar a potência negativa no denominador, multiplico numerador e denominador por t^{2} (válido para t\neq0):
f(t)=\frac{15t\cdot t^{2}}{(2t^{-2}+7)\cdot t^{2}}=\frac{15t^{3}}{2+7t^{2}}.
Essa forma \dfrac{15t^{3}}{2+7t^{2}} é mais simples para derivar.

Passo 4

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas de modo concreto):
  • Regra da potência: a derivada de t^{n} é n t^{n-1}. Ex.: a derivada de t^{3} é 3t^{2}.
  • Regra da constante multiplicativa: a derivada de c\cdot g(t) é c\cdot g'(t).
  • Derivada de soma: (g+h)'=g'+h'.
  • Regra do quociente: para h(t)=\dfrac{u(t)}{v(t)} com v(t)\neq0,
h'(t)=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{[v(t)]^{2}}.
Vou aplicar a regra do quociente à forma simplificada f(t)=\dfrac{15t^{3}}{2+7t^{2}}.

Passo 5

Identificar u e v e calcular suas derivadas:
  • Seja u(t)=15t^{3}. Pela regra da potência e da constante,
u'(t)=15\cdot 3t^{2}=45t^{2}.
  • Seja v(t)=2+7t^{2}. Derivando termo a termo,
v'(t)=0+7\cdot 2t=14t.

Passo 6

Aplicar a regra do quociente substituindo u, u', v, v':
f'(t)=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{[v(t)]^{2}} =\frac{45t^{2}\,(2+7t^{2})-15t^{3}\cdot 14t}{(2+7t^{2})^{2}}.

Passo 7

Simplificar o numerador passo a passo:
  • Expandir os termos:
45t^{2}\,(2+7t^{2})=90t^{2}+315t^{4},
15t^{3}\cdot 14t=210t^{4}.
  • Subtrair:
90t^{2}+315t^{4}-210t^{4}=90t^{2}+105t^{4}.
  • Colocar em evidência 15t^{2} para simplificar:
90t^{2}+105t^{4}=15t^{2}(6+7t^{2}).
Portanto a derivada fica
f'(t)=\frac{15t^{2}(6+7t^{2})}{(2+7t^{2})^{2}}.

Passo 8

Breve verificação rápida (sanity check): os passos algébricos são consistentes com regras usadas; a expressão final está fatorada e é equivalente à forma expandida. Lembrar que tudo vale para t\neq0 (domínio original).

Resposta

f'(t)=\dfrac{15t^{2}\,(6+7t^{2})}{(2+7t^{2})^{2}}

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