Calcule a derivada de:
g(r)=\left(5 r-4^{2}\right)^{-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(r)=\left(5 r-4^{2}\right)^{-2}.
Informações importantes dadas: a expressão contém uma potência inteira 4^{2} dentro do parêntesis e um expoente externo -2.

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão dentro do parêntesis: 4^{2} é uma constante igual a 16. Então podemos reescrever
g(r)=\left(5r-16\right)^{-2}.

Passo 3

Explicar a regra que vamos usar (cadeia + regra da potência).
  • Regra da potência (aplicável a qualquer expoente real): se h(x)=x^{n} então \dfrac{d}{dx}h(x)=n x^{n-1}.
  • Regra da cadeia (para função composta): se g(x)=f(u(x)) então \dfrac{d}{dx}g(x)=f'(u(x))\cdot u'(x).
Juntando: para g(r)=(u(r))^{n} vale
g'(r)=n\,(u(r))^{n-1}\,u'(r).

Passo 4

Identificar a função interna u(r) e o expoente n. Aqui
u(r)=5r-16,\qquad n=-2.

Passo 5

Calcular a derivada da função interna u(r). Como u(r)=5r-16 é uma função linear, sua derivada é o coeficiente de r:
u'(r)=5.
(Observação: a derivada da constante -16 é 0.)

Passo 6

Aplicar a fórmula da cadeia com a regra da potência:
g'(r)=n\,(u(r))^{n-1}\,u'(r)=(-2)\,(5r-16)^{-3}\cdot 5.

Passo 7

Simplificar o coeficiente:
g'(r)=-2\cdot 5\,(5r-16)^{-3}=-10\,(5r-16)^{-3}.
Também é equivalente escrever em forma de fração:
g'(r)=-\dfrac{10}{(5r-16)^{3}}.

Resposta

-10\,(5r-16)^{-3}

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