Calcule a derivada de f(x) = x^3 / ln(x).
Resposta: (3 x^2 ln(x) - x^2) / (ln(x))^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função . Isso envolve calcular a derivada de uma fração, então vamos usar a regra do quociente. Para isso, precisamos lembrar como aplicar essa regra direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a regra do quociente. Se tivermos uma função que é o quociente de duas funções, ou seja, , a derivada dessa função é dada por:
Essa fórmula nos ajuda a calcular a derivada quando temos uma divisão de duas funções.

Passo 3

Agora, vamos identificar as partes da nossa função:
Vamos precisar derivar cada uma dessas funções:
  • A derivada de é , porque trazemos o expoente para frente e diminuímos o expoente em 1.
  • A derivada de é , que é uma regra básica das derivadas de logaritmos.

Passo 4

Com tudo isso em mãos, vamos aplicar a regra do quociente na nossa função:
Substituindo pelos valores que encontramos:
Simplificando para :

Resposta

A derivada de é:

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