(a) Calcule o lucro diário se a empresa tem 7 vendedores e 30 mil investidos.
(b) Calcule partial Lpartial x e partial Lpartial y
© O que é mais lucrativo, a partir da situação do item (a):
i. aumentar de uma unidade o número de funcionários (vendedores), mantendo o capital investido, ou,
ii. investir mais mil reais, mantendo o número de vendedores?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que precisamos aqui envolve lucro de uma empresa com relação ao número de vendedores e ao investimento feito. Para isso, vamos usar um pouco de matemática, especificamente funções e derivadas parciais, para entender como variar esses dois fatores pode impactar o lucro diário da empresa. Vamos precisar saber como o lucro depende do número de vendedores e do investimento para calcular e analisar corretamente.

Passo 2

Parte (a): Calcular o lucro diário com 7 vendedores e R$30 mil investidos.

Primeiro, precisamos de uma função que relacione o lucro 30 mil investidos Primeiro, precisamos de uma função que relacione o lucro ( L ) com o número de vendedores ( x ) e o investimento ( y ) Vamos supor que essa função seja dada por: [ L(x, y) = a cdot x + b cdot y ] Onde: - ( a ) é o lucro adicional por cada vendedor a mais - ( b ) é o lucro adicional por cada mil reais investidos Sem os valores de ( a ) e ( b ), não podemos calcular um valor numérico específico Mas para o propósito deste exercício, vamos assumir que ( a = 500 ) (R com o número de vendedores L(x, y) = 500x + 2y e o investimento L(7, 30) = 500 times 7 + 2 times 30 = 3500 + 60 = 3560 . Vamos supor que essa função seja dada por:
Onde:
  • é o lucro adicional por cada vendedor a mais.
  • é o lucro adicional por cada mil reais investidos.
Sem os valores de e , não podemos calcular um valor numérico específico. Mas para o propósito deste exercício, vamos assumir que (R$500 por vendedor) e (R$2 de lucro por mil reais investidos). Então, temos:
Agora, substituindo e (já que estamos trabalhando com mil reais):

Passo 3

Parte (b): Calcular partial Lpartial x = 500 e 500, mantendo o investimento constante - ( partial Lpartial y ) representa a taxa de variação do lucro em relação ao investimento ( y ) [ partial Lpartial y = 2 ] Isso significa que, para cada mil reais adicionais investidos, o lucro aumenta em R

As derivadas parciais nos dizem como o lucro muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
  • representa a taxa de variação do lucro em relação ao número de vendedores .
Isso significa que, para cada vendedor adicional, o lucro aumenta em R$500, mantendo o investimento constante.
  • representa a taxa de variação do lucro em relação ao investimento .
Isso significa que, para cada mil reais adicionais investidos, o lucro aumenta em R$2, mantendo o número de vendedores constante.

Passo 4

Parte ©: O que é mais lucrativo?

Agora, queremos saber qual ação gera mais lucro:
i. Aumentar uma unidade o número de vendedores, mantendo o capital investido.
ii. Investir mais mil reais, mantendo o número de vendedores.
Usando as derivadas parciais que calculamos:
  • Aumentar um vendedor aumenta o lucro em R$500.
  • Investir mil reais aumenta o lucro em R$2.
Comparando os dois:
500 - Investir mil reais aumenta o lucro em R

Resposta

Portanto, aumentar uma unidade o número de vendedores é mais lucrativo do que investir mais mil reais, segundo os dados e a função de lucro assumida.

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