Questão 11: Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
c)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
Nosso objetivo é descobrir se essa série converge, ou seja, se ela tem uma soma finita. Se sim, também vamos calcular essa soma. Para isso, vamos lembrar que séries que têm uma razão constante entre os termos são chamadas de séries geométricas, e elas são mais fáceis de analisar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do termo geral da série para identificar se ela realmente é uma série geométrica. Vamos manipular os expoentes:
Agora, vamos escrever como . Então temos:
Portanto, a série fica:
Passo 3
Agora que simplificamos a série, podemos ver que ela é uma série geométrica, onde cada termo é o termo anterior multiplicado por uma razão constante . Neste caso, a razão é:
Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . Vamos verificar:
Como , a razão é maior que 1 em valor absoluto.
Passo 4
Como a razão da série geométrica é maior que 1, isso significa que os termos da série não tendem a zero e, portanto, a série não converge. Em outras palavras, a soma dos termos vai aumentando sem limitar, não resultando em um valor finito.