Questão 11: Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para determinar se a série converge e, se sim, encontrar a sua soma. Essa questão envolve o estudo de séries geométricas, que são sequências onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como calcular a soma dela quando ela converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. A série dada é . Podemos reescrever o termo geral da série para facilitar:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos focar na série . Essa é uma série geométrica onde o primeiro termo é e a razão é .
Para que uma série geométrica convirja, a razão absoluta precisa ser menor que 1. No nosso caso, , então a série converge.
Passo 4
Como a série converge, podemos calcular a sua soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a11 - r
Onde:
S = 231 - 23 = 2313 = 2 é a soma da série,
é o primeiro termo,
é a razão.
Substituindo os valores:
Passo 5
Lembrando que a série original era multiplicada por 49 times 2 = 89 , então a soma total da série é: