Questão 11: Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
a) sumk=1^infty(23)^k+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para determinar se a série converge e, se sim, encontrar a sua soma. Essa questão envolve o estudo de séries geométricas, que são sequências onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como calcular a soma dela quando ela converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. A série dada é (23)^k+2 = (23)^k cdot (23)^2 = (23)^k cdot 49 . Podemos reescrever o termo geral da série para facilitar:
sumk=1^infty(23)^k+2 = 49 sumk=1^infty(23)^k
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos focar na série . Essa é uma série geométrica onde o primeiro termo é e a razão é .
Para que uma série geométrica convirja, a razão absoluta precisa ser menor que 1. No nosso caso, , então a série converge.

Passo 4

Como a série converge, podemos calcular a sua soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a11 - r
Onde:
  • S = 231 - 23 = 2313 = 2 é a soma da série,
  • é o primeiro termo,
  • é a razão.
Substituindo os valores:

Passo 5

Lembrando que a série original era multiplicada por 49 times 2 = 89 , então a soma total da série é:

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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