Questão 6: Discuta a continuidade da função dada no
:
, em
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar a continuidade da função
no ponto
. A função está definida de duas formas: para qualquer ponto diferente de
, ela é
, e em
, o valor é 0. Vamos usar conceitos de limite e continuidade para ver se a função é contínua nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando
se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos calcular:
E verificar se esse limite é igual a 0.
Passo 3
Para calcular esse limite, podemos tentar diferentes caminhos de aproximação para
e ver se o limite é o mesmo em todos eles. Se encontrarmos caminhos onde o limite é diferente, isso significa que o limite geral não existe.
Passo 4
Vamos primeiro aproximar por
. Substituindo:
Então, ao se aproximar por
, o limite é -1.
Passo 5
Agora, vamos aproximar por
. Substituindo:
Nesse caso, o limite é 1.
Passo 6
Como obtivemos limites diferentes dependendo do caminho de aproximação (
por
e
por
), isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
A função
não é contínua em
, pois o limite quando
se aproxima de
depende do caminho de aproximação e, portanto, não existe um limite único igual ao valor da função nesse ponto.