Questão 6: Discuta a continuidade da função dada no (0,0) :
f(x, y) = { (y^2 + 2x) / (y^2 - 2x), (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, (x, y) = (0, 0) }, em P(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos analisar a continuidade da função no ponto . A função está definida de duas formas: para qualquer ponto diferente de , ela é , e em , o valor é 0. Vamos usar conceitos de limite e continuidade para ver se a função é contínua nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos calcular:
E verificar se esse limite é igual a 0.

Passo 3

Para calcular esse limite, podemos tentar diferentes caminhos de aproximação para e ver se o limite é o mesmo em todos eles. Se encontrarmos caminhos onde o limite é diferente, isso significa que o limite geral não existe.

Passo 4

Vamos primeiro aproximar por . Substituindo:
Então, ao se aproximar por , o limite é -1.

Passo 5

Agora, vamos aproximar por . Substituindo:
Nesse caso, o limite é 1.

Passo 6

Como obtivemos limites diferentes dependendo do caminho de aproximação ( por e por ), isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

A função não é contínua em , pois o limite quando se aproxima de depende do caminho de aproximação e, portanto, não existe um limite único igual ao valor da função nesse ponto.

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