Calcule a derivada de: f(x)=\left(3 x^{2}\right) \cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\left(3 x^{2}\right)\cos 2x.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é dada como um produto entre duas expressões: \,3x^{2}\, e \,\cos 2x\,.
  • O objetivo é obter f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Qual a regra que vamos usar? Aqui temos um produto de duas funções dependentes de x. Existe uma fórmula direta para a derivada de um produto: se u(x) e v(x) são funções, então a derivada de u(x)v(x) é dada por
(u v)' = u'v + uv'.
Explicando com calma: u' é a derivada de u em relação a x e v' é a derivada de v em relação a x. A ideia é que a taxa de variação do produto vem da variação de cada fator, somadas de forma apropriada. Não vamos pular essa etapa porque é a peça central aqui.

Passo 3

Identificamos os fatores do produto para aplicar a fórmula:
u(x)=3x^{2},\qquad v(x)=\cos 2x.
Agora calculamos u'(x). Usamos a regra do poder (power rule) e a regra de constante: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}, e uma constante multiplicando passa para fora. Assim,
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=3\cdot 2x=6x.
Um lembrete prático: sempre que você tiver a x^{n} com a constante, a derivada é a n x^{n-1}.

Passo 4

Agora precisamos de v'(x), a derivada de \cos 2x. Aqui entra a ideia da regra da cadeia: se você tem uma função composta g(h(x)), a derivada é g'(h(x))\cdot h'(x). No nosso caso podemos ver \cos 2x como g(h(x)) com
g(t)=\cos t,\qquad h(x)=2x.
Sabemos que \frac{d}{dt}\cos t = -\sin t. Aplicando a regra da cadeia:
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\cos 2x\bigr)=\bigl(-\sin(2x)\bigr)\cdot\frac{d}{dx}(2x)= -\sin(2x)\cdot 2 = -2\sin(2x).
Explicação extra e intuitiva: primeiro derivamos a função externa ( \cos) deixando o argumento intacto, ficando -\sin do argumento, depois multiplicamos pela derivada do argumento ( 2x tem derivada 2).

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do produto com os u',v' que achamos:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo:
f'(x) = (6x)\cos 2x + (3x^{2})(-2\sin 2x).
Fazendo a multiplicação no segundo termo:
f'(x) = 6x\cos 2x - 6x^{2}\sin 2x.

Passo 6

Podemos fazer uma simplificação/fatoração útil para deixar a resposta mais compacta e fácil de usar na prova. Observando os dois termos, ambos têm fator comum 6x. Colocando em evidência:
f'(x)=6x\bigl(\cos 2x - x\sin 2x\bigr).
Ambas as formas — a expandida e a fatorada — estão corretas; use a que achar mais prática no exame.

Resposta

f'(x)=6x\cos 2x-6x^{2}\sin 2x
f'(x)=6x\bigl(\cos 2x - x\sin 2x\bigr)

Exercícios relacionados