Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é dada como um produto entre duas expressões:
e . - O objetivo é obter
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Qual a regra que vamos usar? Aqui temos um produto de duas funções dependentes de
. Existe uma fórmula direta para a derivada de um produto: se
e
são funções, então a derivada de
é dada por
Explicando com calma:
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
. A ideia é que a taxa de variação do produto vem da variação de cada fator, somadas de forma apropriada. Não vamos pular essa etapa porque é a peça central aqui.
Passo 3
Identificamos os fatores do produto para aplicar a fórmula:
Agora calculamos
. Usamos a regra do poder (power rule) e a regra de constante: a derivada de
é
, e uma constante multiplicando passa para fora. Assim,
Um lembrete prático: sempre que você tiver
com
constante, a derivada é
.
Passo 4
Agora precisamos de
, a derivada de
. Aqui entra a ideia da regra da cadeia: se você tem uma função composta
, a derivada é
. No nosso caso podemos ver
como
com
Sabemos que
. Aplicando a regra da cadeia:
Explicação extra e intuitiva: primeiro derivamos a função externa (
) deixando o argumento intacto, ficando
do argumento, depois multiplicamos pela derivada do argumento (
tem derivada
).
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do produto com os
que achamos:
Substituindo:
Fazendo a multiplicação no segundo termo:
Passo 6
Podemos fazer uma simplificação/fatoração útil para deixar a resposta mais compacta e fácil de usar na prova. Observando os dois termos, ambos têm fator comum
. Colocando em evidência:
Ambas as formas — a expandida e a fatorada — estão corretas; use a que achar mais prática no exame.