Calcule a derivada de f(x) : f(x) = raiz3(x) / (x^3 + 4x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função . Aqui, vamos usar o conteúdo de derivadas de funções racionais, ou seja, funções que são frações onde o numerador e o denominador são funções de . Para resolver, precisamos aplicar a regra do quociente, que é uma técnica para derivar funções que são quocientes de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação das regras de derivação. Sabemos que , então podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções que compõem o quociente. Seja:

Passo 4

Para aplicar a regra do quociente, precisamos das derivadas de e .
Primeiro, derivamos :
Agora, derivamos :

Passo 5

A regra do quociente diz que:
Vamos substituir , , e na fórmula:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Primeiro, multiplique por :
Então:
Agora, subtraímos :
Então:
Substituindo de volta no numerador:
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, colocamos tudo junto na fórmula da derivada:
Podemos fatorar o :

Resposta

A derivada de é:

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