Determine as equações da reta tangente ao gráfico da função
eque é paralela à reta
.
Passo 1
Então, temos que encontrar as equações das retas tangentes ao gráfico da função
que são paralelas à reta
. Vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas para determinar as tangentes. Precisaremos encontrar a derivada da função
, igualá-la ao coeficiente angular da reta dada para garantir que as retas sejam paralelas, e então determinar os pontos de tangência para escrever as equações das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o coeficiente angular da reta
. A equação está na forma
, onde
é o coeficiente angular. Aqui,
. Portanto, nossas retas tangentes também precisam ter um coeficiente angular de
para serem paralelas.
Passo 3
Para encontrar as retas tangentes com coeficiente angular
, precisamos calcular a derivada da função
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
A derivada de
é:
Então,
.
Passo 4
Agora, queremos que a inclinação da tangente seja igual a
. Portanto, igualamos a derivada a
:
Simplificando ambos os lados:
Isso implica que:
Resolvendo para
:
Então:
Portanto, temos duas soluções para
:
Passo 5
Agora, encontramos os pontos de tangência correspondentes a
e
. Vamos calcular
e
:
Para
:
Portanto, o ponto é
.
Para
:
Portanto, o ponto é
.
Agora, usando a forma ponto-inclinação da equação da reta
, onde
:
Para
:
Para
:
Resposta
As equações das retas tangentes são: