Determine as equações da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 1/(x-3) eque é paralela à reta y = -x.

Passo 1

Então, temos que encontrar as equações das retas tangentes ao gráfico da função que são paralelas à reta . Vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas para determinar as tangentes. Precisaremos encontrar a derivada da função , igualá-la ao coeficiente angular da reta dada para garantir que as retas sejam paralelas, e então determinar os pontos de tangência para escrever as equações das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o coeficiente angular da reta . A equação está na forma , onde é o coeficiente angular. Aqui, . Portanto, nossas retas tangentes também precisam ter um coeficiente angular de para serem paralelas.

Passo 3

Para encontrar as retas tangentes com coeficiente angular , precisamos calcular a derivada da função , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .
A derivada de é:
Então, .

Passo 4

Agora, queremos que a inclinação da tangente seja igual a . Portanto, igualamos a derivada a :
Simplificando ambos os lados:
Isso implica que:
Resolvendo para :
Então:
Portanto, temos duas soluções para :

Passo 5

Agora, encontramos os pontos de tangência correspondentes a e . Vamos calcular e :
Para :
Portanto, o ponto é .
Para :
Portanto, o ponto é .
Agora, usando a forma ponto-inclinação da equação da reta , onde :
Para :
Para :

Resposta

As equações das retas tangentes são:

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