Calcule a derivada de f(x) : f(x) = raiz((x - 1) / (x^2))

Passo 1

Fala! A gente vai calcular a derivada da função . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especialmente sobre derivadas de funções compostas e regras como a cadeia e o quociente. Vamos precisar manipular a função para facilitar a derivação e aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação usando potências. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de . Então:
Isso vai ajudar a aplicar a regra da cadeia mais facilmente.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração dentro da raiz. Dividindo termo a termo:
Então, a função fica:

Passo 4

Para derivar , vamos usar a regra da cadeia. Se temos , a derivada é .
Aqui, e . Então:

Passo 5

Agora, precisamos calcular . Para isso, usamos a regra do quociente: se , então .
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 6

Voltando à expressão da derivada de :
Simplificando :
Então, substituindo:

Resposta

A derivada de é:

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