Calcule a derivada de f(x) utilizando a definição: f(x) = -1 / x

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a derivada da função usando a definição de derivada. Basicamente, vamos aplicar os conceitos de limite e mudança na função para encontrar essa derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de em um ponto é o limite da taxa de variação de quando um pequeno incremento tende a zero. Matematicamente, fica assim:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observe que os sinais negativos se cancelam:
Para facilitar, vamos encontrar um denominador comum para as frações no numerador:
Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 5

Agora, simplificamos a fração dividindo por :
Como tende a zero, podemos substituir por 0 na expressão:

Resposta

A derivada de é .

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