Mostre por indução matemática que n < 2^n, para todo n em N.
5. Mostre por indução matemática que 1 x 2 + 2 x 3 + ... + (n-1) x n = (n-1) n (n+1) / 3, para todo n ≥ 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar, usando indução matemática, que a soma é igual a para todo n ≥ 2. Vamos usar o conceito de indução matemática, que basicamente tem dois passos: verificar se funciona para o primeiro caso e depois mostrar que, se funciona para um caso qualquer, também funciona para o próximo.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a fórmula funciona para . Substituindo na soma:

E na fórmula:
Então, para n = 2, a igualdade vale. Essa é a nossa base da indução.

Passo 3

Agora, vamos supor que a fórmula funciona para algum número . Ou seja, assumimos que:

Essa suposição é chamada de hipótese de indução e vamos usá-la para provar que a fórmula também vale para .

Passo 4

Vamos verificar para . A soma fica:

Pela hipótese de indução, sabemos que a parte até é . Então:
Vamos simplificar:

E isso é exatamente o que a fórmula diz para :
Então, a fórmula também funciona para .

Resposta

Assim, por indução matemática, mostramos que para todo n ≥ 2.

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