Mostre por indução matemática que
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5. Mostre por indução matemática que
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5. Mostre por indução matemática que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar, usando indução matemática, que a soma
é igual a
para todo
. Vamos usar o conceito de indução matemática, que basicamente tem dois passos: verificar se funciona para o primeiro caso e depois mostrar que, se funciona para um caso qualquer, também funciona para o próximo.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a fórmula funciona para
. Substituindo na soma:
E na fórmula:
Então, para
, a igualdade vale. Essa é a nossa base da indução.
Passo 3
Agora, vamos supor que a fórmula funciona para algum número
. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução e vamos usá-la para provar que a fórmula também vale para
Passo 4
Vamos verificar para
. A soma fica:
Pela hipótese de indução, sabemos que a parte até
Vamos simplificar:
E isso é exatamente o que a fórmula diz para
Então, a fórmula também funciona para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, mostramos que
para todo
.