Suponha que
seja autovetor de
e
, ao mesmo tempo com autovalores
e
respectivamente. Ache autovetores e autovalores de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que foi pedido. A questão fala sobre autovetores e autovalores de duas transformações lineares,
e
, que atuam no mesmo espaço vetorial
. Sabemos que um vetor
é autovetor de
com autovalor
e também é autovetor de
com autovalor
. O que queremos é encontrar os autovetores e os autovalores da transformação
.
Para resolver isso, vamos lembrar o que são autovetores e autovalores e como eles se comportam quando combinamos transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um autovetor e um autovalor. Se
é um autovetor de uma transformação linear
com autovalor
, isso significa que:
Nesse caso, temos duas transformações:
e
. Então, temos:
Passo 3
Agora, queremos ver o que acontece com a transformação
. A transformação
aplicada a
é:
Usando as igualdades que já temos:
Isso mostra que
também é um autovetor de
.
Passo 4
Então, vimos que ao aplicar
em
, obtemos um múltiplo de
com o escalar
. Isso significa que:
Portanto,
é também um autovetor de
, e o autovalor correspondente é
.
Resposta
Os autovetores de
são os mesmos
, e os autovalores correspondentes são
.