Suponha que v em V seja autovetor de T: V -> V e S: V -> V, ao mesmo tempo com autovalores lambda_1 e lambda_2 respectivamente. Ache autovetores e autovalores de S + T

Passo 1

Beleza, vamos entender o que foi pedido. A questão fala sobre autovetores e autovalores de duas transformações lineares, e , que atuam no mesmo espaço vetorial . Sabemos que um vetor é autovetor de com autovalor e também é autovetor de com autovalor . O que queremos é encontrar os autovetores e os autovalores da transformação .
Para resolver isso, vamos lembrar o que são autovetores e autovalores e como eles se comportam quando combinamos transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um autovetor e um autovalor. Se é um autovetor de uma transformação linear com autovalor , isso significa que:
Nesse caso, temos duas transformações: e . Então, temos:

Passo 3

Agora, queremos ver o que acontece com a transformação . A transformação aplicada a é:
Usando as igualdades que já temos:
Isso mostra que também é um autovetor de .

Passo 4

Então, vimos que ao aplicar em , obtemos um múltiplo de com o escalar . Isso significa que:
Portanto, é também um autovetor de , e o autovalor correspondente é .

Resposta

Os autovetores de são os mesmos , e os autovalores correspondentes são .

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