Calcule a derivada de f(x) : f(x) = ((x + 3) / (x^2 - x))^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada de uma função . Isso está dentro do conteúdo de derivadas, especificamente usando a Regra da Cadeia e a Regra do Quociente. Vamos precisar lembrar como derivar funções compostas e quocientes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função composta que temos aqui. A função está levantada ao cubo, então a gente vai usar a Regra da Cadeia, que basicamente diz que a derivada de uma função composta é .

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia, temos:
Agora, precisamos derivar o quociente dentro da expressão, ou seja, .

Passo 4

Para derivar um quociente , usamos a Regra do Quociente, que diz:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos calcular e :

Passo 6

Agora, aplicando a Regra do Quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
Então, o numerador fica:

Passo 8

Portanto, a derivada do quociente é:

Passo 9

Agora, voltamos à expressão da derivada original usando a Regra da Cadeia:
Podemos simplificar isso multiplicando os fatores:

Resposta

A derivada de é:

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