Determine as derivadas parciais.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar as derivadas parciais da função
, que é definida de duas formas: uma para pontos onde
e outra para o ponto
. Vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para resolver isso. Precisaremos entender como derivar funções racionais e também como tratar casos especiais no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caso onde
. A função é dada por:
Para encontrar as derivadas parciais
e
, vamos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma função dividida por outra.
Passo 3
Vamos achar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada parcial em relação a
fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Novamente, usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Fatorando:
Então, a derivada parcial em relação a
fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o ponto especial
. Nesse ponto, a função é definida como
. Para encontrar as derivadas parciais aqui, precisamos usar a definição de derivada parcial:
Passo 6
Calculando
:
Então,
Passo 7
Calculando
:
Então,
Esse limite não existe porque tende a menos infinito quando
se aproxima de zero por valores positivos e a mais infinito por valores negativos. Portanto,
não existe.
Resposta
As derivadas parciais de
são:
Para
:
No ponto
: