Determine as derivadas parciais.
l) f(x, y)=lllx^3-y^2x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar as derivadas parciais da função , que é definida de duas formas: uma para pontos onde e outra para o ponto . Vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para resolver isso. Precisaremos entender como derivar funções racionais e também como tratar casos especiais no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caso onde f(x, y) = x^3 - y^2x^2 + y^2 . A função é dada por:
Para encontrar as derivadas parciais e , vamos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma função dividida por outra.

Passo 3

Vamos achar a derivada parcial em relação a fx = (3x^2)(x^2 + y^2) - (x^3 - y^2)(2x)(x^2 + y^2)^2 , ou seja, 3x^2(x^2 + y^2) - 2x(x^3 - y^2) = 3x^4 + 3x^2y^2 - 2x^4 + 2xy^2 = x^4 + 3x^2y^2 + 2xy^2 . Usando a regra do quociente:
fx = x^4 + 3x^2y^2 + 2xy^2(x^2 + y^2)^2
Simplificando o numerador:
Então, a derivada parcial em relação a fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a fy = (-2y)(x^2 + y^2) - (x^3 - y^2)(2y)(x^2 + y^2)^2 , ou seja, -2y(x^2 + y^2) - 2y(x^3 - y^2) = -2yx^2 - 2y^3 - 2yx^3 + 2y^3 = -2yx^2 - 2yx^3 . Novamente, usando a regra do quociente:
-2yx^2(1 + x)
Simplificando o numerador:
fy = -2yx^2(1 + x)(x^2 + y^2)^2
Fatorando:
Então, a derivada parcial em relação a fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o ponto especial fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h . Nesse ponto, a função é definida como fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k . Para encontrar as derivadas parciais aqui, precisamos usar a definição de derivada parcial:

Passo 6

Calculando f(h, 0) = h^3 - 0h^2 + 0 = h :
fx(0,0) = limh to 0 h - 0h = 1
Então,

Passo 7

Calculando f(0, k) = 0 - k^20 + k^2 = -1 :
fy(0,0) = limk to 0 -1 - 0k = limk to 0 -1k
Então,
Esse limite não existe porque tende a menos infinito quando se aproxima de zero por valores positivos e a mais infinito por valores negativos. Portanto, não existe.

Resposta

As derivadas parciais de fx = x^4 + 3x^2y^2 + 2xy^2(x^2 + y^2)^2 são:
Para fy = -2yx^2(1 + x)(x^2 + y^2)^2 :
fx(0,0) = 1
fy(0,0) não existe
No ponto :
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