Calcule a derivada de:
Passo 1
O que o problema pede: calcular a derivada de
.
Informações dadas (explicitadas): a função é a recíproca do cubo do polinômio ; ou seja,
pode ser escrita como uma potência negativa.
Nada mais é fornecido. A tarefa é obter , a derivada em termos de
.
Informações dadas (explicitadas): a função é a recíproca do cubo do polinômio
Nada mais é fornecido. A tarefa é obter
Passo 2
Reescrevemos a função numa forma que facilita aplicar regras de derivação: usar potência em vez de fração.
Essa escrita mostra que
é composição de uma potência
com a função interna
.
Passo 3
Definimos claramente a função interna para aplicar a regra da cadeia:
Vou precisar de
(a derivada de
) e da regra para derivar potências compostas.
Passo 4
Explico as regras que vou usar (aulas rápidas e concretas):
- Regra da potência (para funções do tipo
): Exemplo simples: . - Regra da derivada de
(constante multiplicando potência): onde é constante.
Exemplo:. - Regra da cadeia (para composição
): No caso especial (com ), a regra fica Exemplo: se e , então e a regra da cadeia dá , que coincide com a derivada direta de .
Passo 5
Calculemos
usando a regra da derivada de monômios:
Derivando termo a termo:
Portanto
Passo 6
Agora aplicamos a regra da cadeia à função
. Pela fórmula
com
, obtemos
Substituindo
e
, temos
Passo 7
Vamos simplificar a expressão resultante passo a passo. Primeiro fatoramos
:
Substituindo na derivada:
Passo 8
Agrupamos constantes e fatores óbvios:
então
Essa já é uma forma correta e bastante direta da derivada.
Passo 9
Se quisermos uma forma ainda mais simplificada em termos de potências de
e de
, podemos factorizar
como
— estou tirando esse dado diretamente da expressão polinomial:
Então
Multiplicando por
:
Simplificando a fração
, obtemos
Reescrevendo com potências positivas no denominador:
Passo 10
Recapitulando, temos duas formas equivalentes, ambas corretas:
Forma direta e factorizada:
Forma direta e factorizada:
Forma com denominador expresso explicitamente: