Calcule a derivada de: f(x)=\frac{1}{\left(2 x^{3}-4 x^{2}\right)^{3}}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a derivada de f(x)=\frac{1}{\left(2 x^{3}-4 x^{2}\right)^{3}}.
Informações dadas (explicitadas): a função é a recíproca do cubo do polinômio 2x^{3}-4x^{2}; ou seja, f(x) pode ser escrita como uma potência negativa.
Nada mais é fornecido. A tarefa é obter f'(x), a derivada em termos de x.

Passo 2

Reescrevemos a função numa forma que facilita aplicar regras de derivação: usar potência em vez de fração.
f(x)=\frac{1}{\left(2x^{3}-4x^{2}\right)^{3}}=\left(2x^{3}-4x^{2}\right)^{-3}.
Essa escrita mostra que f é composição de uma potência (\cdot)^{-3} com a função interna g(x)=2x^{3}-4x^{2}.

Passo 3

Definimos claramente a função interna para aplicar a regra da cadeia:
g(x)=2x^{3}-4x^{2}.
Vou precisar de g'(x) (a derivada de g) e da regra para derivar potências compostas.

Passo 4

Explico as regras que vou usar (aulas rápidas e concretas):
  • Regra da potência (para funções do tipo \varphi(x)=x^{n}): \frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.Exemplo simples: \frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
  • Regra da derivada de a x^{n} (constante multiplicando potência): \frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a\cdot n x^{n-1},onde a é constante.
    Exemplo: \frac{d}{dx}\bigl(5x^{4}\bigr)=5\cdot4x^{3}=20x^{3}.
  • Regra da cadeia (para composição F(x)=h(g(x))): F'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).No caso especial h(u)=u^{n} (com u=g(x)), a regra fica \frac{d}{dx}\bigl(g(x)^{n}\bigr)=n\;g(x)^{\,n-1}\;g'(x).Exemplo: se g(x)=x^{2} e h(u)=u^{3}, então (g(x))^{3}=x^{6} e a regra da cadeia dá 3(x^{2})^{2}\cdot 2x=3x^{4}\cdot 2x=6x^{5}, que coincide com a derivada direta de x^{6}.

Passo 5

Calculemos g'(x) usando a regra da derivada de monômios:
g(x)=2x^{3}-4x^{2}.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}\bigr)=2\cdot 3x^{2}=6x^{2},
\frac{d}{dx}\bigl(-4x^{2}\bigr)=-4\cdot 2x=-8x.
Portanto
g'(x)=6x^{2}-8x.

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia à função f(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{-3}. Pela fórmula
\frac{d}{dx}\bigl(g(x)^{n}\bigr)=n\;g(x)^{\,n-1}\;g'(x),
com n=-3, obtemos
f'(x)=-3\;g(x)^{-4}\;g'(x).
Substituindo g(x)=2x^{3}-4x^{2} e g'(x)=6x^{2}-8x, temos
f'(x)=-3\,(2x^{3}-4x^{2})^{-4}\,(6x^{2}-8x).

Passo 7

Vamos simplificar a expressão resultante passo a passo. Primeiro fatoramos 6x^{2}-8x:
6x^{2}-8x=2x(3x-4).
Substituindo na derivada:
f'(x)=-3\,(2x^{3}-4x^{2})^{-4}\cdot 2x(3x-4).

Passo 8

Agrupamos constantes e fatores óbvios:
-3\cdot 2x = -6x,
então
f'(x)=-6x(3x-4)\,(2x^{3}-4x^{2})^{-4}.
Essa já é uma forma correta e bastante direta da derivada.

Passo 9

Se quisermos uma forma ainda mais simplificada em termos de potências de x e de (x-2), podemos factorizar 2x^{3}-4x^{2} como 2x^{2}(x-2) — estou tirando esse dado diretamente da expressão polinomial:
2x^{3}-4x^{2}=2x^{2}(x-2).
Então
(2x^{3}-4x^{2})^{-4}=\bigl(2x^{2}(x-2)\bigr)^{-4}=2^{-4}x^{-8}(x-2)^{-4}=\frac{1}{16}x^{-8}(x-2)^{-4}.
Multiplicando por -6x(3x-4):
f'(x)=-6x(3x-4)\cdot\frac{1}{16}x^{-8}(x-2)^{-4}=-\frac{6}{16}(3x-4)x^{-7}(x-2)^{-4}.
Simplificando a fração \frac{6}{16}=\frac{3}{8}, obtemos
f'(x)=-\frac{3}{8}(3x-4)x^{-7}(x-2)^{-4}.
Reescrevendo com potências positivas no denominador:
f'(x)=-\frac{3(3x-4)}{8\,x^{7}(x-2)^{4}}.

Passo 10

Recapitulando, temos duas formas equivalentes, ambas corretas:
Forma direta e factorizada:
f'(x)=-6x(3x-4)\,(2x^{3}-4x^{2})^{-4}.
Forma com denominador expresso explicitamente:
f'(x)=-\frac{3(3x-4)}{8\,x^{7}(x-2)^{4}}.

Resposta

-\dfrac{3(3x-4)}{8\,x^{7}(x-2)^{4}}

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