Calcule a derivada de:
f(x)=\frac{4 x-5}{3 x+2}

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x)=\frac{4x-5}{3x+2} e pede que se calcule a derivada f'(x). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Numerador: 4x-5.
  • Denominador: 3x+2.
  • Importante: a função não está definida em x=-\tfrac{2}{3} (onde o denominador zera).

Passo 2

Vou usar a regra do quociente para derivar \frac{u}{v}. A regra do quociente diz que, para funções u(x) e v(x) com v(x)\neq0,
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Uma forma de lembrar/entender essa regra é escrever \frac{u}{v}=u\cdot v^{-1} e aplicar a regra do produto e a regra da cadeia:
(u\cdot v^{-1})'=u'\,v^{-1}+u\,(v^{-1})' = u'\,v^{-1}+u\cdot(-1)v^{-2}v' =\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.

Passo 3

Identifico u(x)=4x-5 e v(x)=3x+2. Agora calculo as derivadas de cada uma:
  • Derivada de uma reta ax+b é a (porque a variação é constante). Portanto,
u'(x)=4, \qquad v'(x)=3.

Passo 4

Substituo na fórmula da regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{4\,(3x+2)-(4x-5)\,3}{(3x+2)^{2}}.
Aqui cada termo está explícito: o primeiro é u'v e o segundo é uv'.

Passo 5

Faço a álgebra no numerador passo a passo:
4(3x+2)=12x+8,
(4x-5)3=12x-15.
Subtraindo:
12x+8-(12x-15)=12x+8-12x+15=8+15=23.
Portanto o numerador simplifica para 23, e obtemos
f'(x)=\frac{23}{(3x+2)^{2}}.

Passo 6

Observação sobre domínio: a derivada só faz sentido onde f está definida, ou seja, para x\neq -\tfrac{2}{3}. Fora desse ponto a expressão de f'(x) acima vale para todos os demais x.

Resposta

f'(x)=\frac{23}{(3x+2)^{2}}

Exercícios relacionados